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- 2021-04-12 发布
2018届高三期中学业质量监测试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
数 学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
开 始
←
输出
结 束
←
←
←
N
Y
（第5题）
1． 已知集合，，则 ▲ ．
2． 复数（是虚数单位）的实部为 ▲ ．
3. 函数的定义域为 ▲ ．
4. 某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，
A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．
为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法
从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽
取 ▲ 名血型为AB的学生．
5. 右图是一个算法流程图，则输出的的值为 ▲ ．
6. 抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为 ▲ ．
7. 已知，，则的取值集合为 ▲ ．
8. 在平行四边形中，，，，则的值为 ▲ ．
9. 设等差数列的前项和为．若，且，，成等差数列，则数列
的通项公式 ▲ ．
10. 在平面直角坐标系中，已知点A（，0），B（1，0）均在圆：外，且圆上存在唯一一点满足，则半径的值为 ▲ ．
11. 已知函数．设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点
，记x
y
O
A
B
C
D
1
-1
1
-1
（第12题）
为函数的导数，则的值为 ▲ ．
12. 已知函数与的图象关于原点对称，且它们的图象
拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD，不含A（0，1），
B（1，1），O（0，0），C（-1，-1），D（0，-1）五个点．
则满足题意的函数的一个解析式为 ▲ ．
13. 不等式的解集为 ▲ ．
14． 在锐角三角形ABC中，的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
A
B
C
A1
B1
C1
M
（第15题）
如图，在直三棱柱中，，点为棱的中点．
求证：（1）平面；
（2）平面平面．
16．（本小题满分14分）
设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c．向量，，
且．
（1）求A的大小；
（2）若，求的值．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线，与椭圆
和轴正半轴分别交于点，．
（1）若，求直线的斜率；
（2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点A
P
Q
x
y
O
l
M
N
（第17题）
，求证：为定值．
18．（本小题满分16分）
将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．
（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面
半径；
（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．
（第18题）
甲
乙
19．（本小题满分16分）
对于给定的正整数，如果各项均为正数的数列满足：对任意正整数，
总成立，那么称是“数列”．
（1）若是各项均为正数的等比数列，判断是否为“数列”，并说明理由；
（2）若既是“数列”，又是“数列”，求证：是等比数列．
20. （本小题满分16分）
设命题：对任意的，恒成立，其中．
（1）若，求证：命题为真命题．
（2）若命题为真命题，求的所有值．
2018届高三期中学业质量监测试题
数 学（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
在△ABC中，，△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC的延长线于点E．
A
B
C
E
D
（第21—A题）
O
求证：△ABD∽△AEB．
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知变换把直角坐标平面上的点，分别变换成点，
，求变换对应的矩阵．
高三数学试题（附加） 第1页（共2页）
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知直线与圆相切，求的值．
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知正数满足，求的最小值．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误，则手机被锁定，5分钟后，方可重新输入．
某日，小明忘记了开机密码，但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一，于是，他
决定逐个（不重复）进行尝试．
（1）求手机被锁定的概率；
（2）设第次输入后能成功开机，求的分布列和数学期望．
23．（本小题满分10分）
设，在集合的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较
大元素相加，和记为，较小元素之和记为．
（1）当时，求的值；
（2）求证：对任意的，为定值．
参考答案
1、【答案】
2、【答案】2
3、【答案】
4、【答案】6
5、【答案】3
6、【答案】
7、【答案】
8、【答案】5
9、【答案】
10、【答案】4
11、 【答案】
12、【答案】
（）
13、【答案】
14、【答案】25
15、证明：（1）在三棱柱中，， …… 2分
又平面，平面，
所以平面． …… 5分
（2）在直三棱柱中，平面，
又平面，所以． …… 7分
因为，所以．
又因为点为棱的中点，所以． …… 9分
又，平面，
所以平面． …… 12分
又平面，
所以平面平面． …… 14分
16、解：（1）因为，所以，即． …… 2分
由正弦定理得，，
所以． …… 4分
在△ABC中，，，所以．
若，则，矛盾．
若，则．
在△ABC中，，所以． …… 7分
（2）由（1）知，，所以．
因为，所以．
解得（负值已舍）． …… 9分
因为，所以或．
在△ABC中，又，故，所以．
因为，所以． …… 11分
从而
． …… 14分
17、 解：（1）依题意，椭圆的左顶点，
设直线的斜率为，A
P
Q
x
y
O
l
M
N
（第17题）
点的横坐标为，
则直线的方程为．① …… 2分
又椭圆：， ②
由①②得，，
则，从而． …… 5分
因为，所以．
所以，解得（负值已舍）． …… 8分
（2）设点的横坐标为．结合（1）知，直线的方程为．③
由②③得，． …… 10分
从而 …… 12分
，即证． …… 14分
18、解：（1）设圆锥的母线长及底面半径分别为，
则 …… 4分
解得 …… 6分
zyx
乙
x
yx
zyx
yx
（2）设被完全覆盖的长方体底面边长为，宽为，高为，
则
解得 …… 8分
则长方体的体积：
， …… 10分
0
↗
极大值
↘
所以．令得，或（舍去）．
列表： …… 12分
所以，当时，． …… 14分
答：（1）圆锥的母线长及底面半径分别为分米，分米．
（2）长方体体积的最大值为立方分米． …… 16分
19、解：（1）是“数列”，理由如下：
因为是各项均为正数的等比数列，不妨设公比为． …… 2分
当时，有 …… 4分
．
所以是“数列”． …… 6分
（2）因为既是“数列”，又是“数列”，
所以，， ①
，． ② …… 8分
由①得，，， ③ …… 10分
，． ④ …… 12分
③④②得，，．
因为数列各项均为正数，所以，． …… 14分
所以数列从第3项起成等比数列，不妨设公比为．
①中，令得，，所以．
①中，令得，，所以．
所以数列是公比为的等比数列． …… 16分
20、 解：（1）当时，命题：对任意的，恒成立．
①记，．
则，所以为上的单调增函数．
所以，即任意的，． …… 3分
②记，．
则，故为上的单调增函数．
所以，即任意的，．
所以，命题为真命题． …… 6分
（2）若命题为真命题，则当时，，所以． …… 8分
此时，对任意的，恒成立．（＊）
若，记，．
则在上有唯一解，记为．
当时，，所以为上的单调减函数．
故，，即，与（＊）矛盾，舍．……12分
若，记，．
则在上有唯一解，记为．
当时，，所以为上的单调减函数．
故，，即，与（＊）矛盾，舍．
从而，所以，的值均唯一，分别为1，0． …… 16分
21、【A】证明：因为，
所以．
又⊙O中，，
所以． …… 6分
又，
所以△ABD∽△AEB． …… 10分
【B】解：设矩阵，则，且． …… 2分
所以且 …… 6分
解得所以矩阵． …… 10分
【C】以极点为坐标原点，极轴为轴，建立平面直角坐标系，
则将直线化为普通方程：，
即． …… 3分
将圆化为普通方程：，
即． …… 6分
因为直线与圆相切，所以，
解得． ……10分
【D】解：由柯西不等式得，
， …… 6分
当且仅当，即时取“”．
所以的最小值为． …… 10分
22、解：（1）设事件A：“手机被锁定”，
则．
答：手机被锁定的概率为． …… 3分
（2）依题意，的所有可能值为1，2，3，4．
则，，
，，
所以的分布表为：
1
2
3
4
…… 8分
所以（次）． …… 10分
23、解：（1）当时，集合的所有元素个数为2的子集为：，
，
，所以，． …… 2分
（2）当时，依题意，
，
…… 6分
．
则
所以． …… 8分
又，所以．
从而． …… 10分。