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- 2021-04-12 发布
专题六 函数与导数
建知识 络 明内在联系
[高考点拨] 函数与导数专题是历年高考的“常青树”，在高考中常以“两小一大”的形式呈现，其中两小题中的一小题难度偏低，另一小题与一大题常在选择题与解答题的压轴题的位置呈现，命题角度多样，形式多变，能充分体现 以致用的考查目的，深受命题人的喜爱．结合典型考题的研究，本专题将从“函数的图象与性质”“函数与方程”“导数的应用”三大方面着手分析，引领考生高效备考．
突破点14 函数的图象和性质
[核心知识提炼]
提炼1 函数的奇偶性
(1)若函数y＝f(x)为奇(偶)函数，则f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))．
(2)奇函数y＝f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.
(3)判断函数的奇偶性需注意：一是判断定义域是否关于原点对称；二是若所给函数的解析式较为复杂，应先化简；三是判断f(－x)＝－f(x)，还是f(－x)＝f(x)，有时需用其等价形式f(－x)±f(x)＝0 判断．
(4)奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(5)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
提炼2 函数的周期性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(x－a)(a≠0)，则函数y＝f(x)是以2|a|为周期的周期性函数．
(2)若奇函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，则函数y＝f(x)是以4|a|为周期的周期性函数．
(3)若偶函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，则函数y＝f(x)是以2|a|为周期的周期性函数．
(4)若f(a＋x)＝－f(x)(a≠0)，则函数y＝f(x)是以2|a|为周期的周期性函数．
(5)若y＝f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b(a≠b)对称，则函数y＝f(x)是以2|b－a|为周期的周期性函数.
提炼3 函数的图象
(1)由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．
(2)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|等的相互关系．
(3)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．
[高考真题回访]
回访1 函数的奇偶性与周期性
1．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
C [A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，A错．
B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，B.
C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|
＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数，C正确．
D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，D错．]
2．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
12 [法一：令x＞0，则－x＜0.
∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．
∴f(2)＝2×23－22＝12.
法二：f(2)＝－f(－2)
＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]
回访2 函数的图象
3．(2015·全国卷Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．4
C [设(x，y)为y＝f(x)图象上任意一点，
则(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，
所以有－x＝2－y＋a，
从而有－y＋a＝log2(－x)(指数式与对数式的互化)，
所以y＝a－log2(－x)，
即f(x)＝a－log2(－x)，
所以f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，解得a＝2.故选C.]
4．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝的部分图象大致为( )
C [令f(x)＝，
∵f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，
∴排除选项A，D.
由1－cos x≠0得x≠2kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.
故选C.]
回访3 函数的单调性
5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
D [由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．
∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
故选D.]
6．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
A [法一：∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔0，
∴x＝0不满足f(x)>f(2x－1)，故C错误．
令x＝2，此时f(x)＝f(2)＝ln 3－，f(2x－1)＝f(3)＝ln 4－.∵f(2)－f(3)＝ln 3－ln 4－，
其中ln 3f(2x－1)，
故B，D错误．故选A.]
热点题型1 函数图象的判断与应用
题型分析：函数的图象是近几年高考的热点内容，主要有函数图象的判断和函数图象的应用两种题型．
【例1】(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为( )
(2)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
(1)D (2)B [(1)当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除选项B.
当0＜x＜时，y＝1＋x＋＞0，故排除选项A，C.
故选D.
(2)∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．
当m为偶数时，i＝2×＝m；
当m为奇数时，i＝2×＋1＝m.故选B.]
[方法指津]
函数图象的判断方法
1．根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置．
2．根据函数的单调性，判断图象的变化趋势．
3．根据函数的奇偶性，判断图象的对称性．
4．根据函数的周期性，判断图象的循环往复．
5．取特殊值代入，进行检验．
[变式训练1] (1)(2016·济南模拟)函数y＝(－π≤x≤π)的大致图象为( )
【导 号：04024121】
A． B．
C． D．
(2)(2017·东北三省四市联考)对∀x∈，23x≤logax＋1恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(1)A (2)C [(1)令f(x)＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，即函数的图象关于原点对称，排除选项C，D；
当x＝时，f＝>0，排除选项B.
故选A.
(2)不等式23x≤logax＋1即为8x≤logax＋1，若8x≤logax＋1在上恒成立，则0＜a＜1，分别在同一坐标系中画出y＝8x与y＝logax＋1的图象如图所示，
易知loga＋1≥8，解得≤a＜1，故选C.]
热点题型2 函数性质的综合应用
题型分析：函数性质的综合应用是高考的热点内容，解决此类问题时，性质的判断是关键，应用是难点．
【例2】(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)单调递增
B．f(x)在(0,2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对于任意x∈R，恒有f(x－1)＝f(x＋1)成立，当x∈[－1,0]时，f(x)＝2x－1，则f(2 017)＝________.
(1)C (2) [(1)f(x)的定义域为(0,2)．
f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．
设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又y＝ln u在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项A，B错误．
∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，
∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．
故选C.
(2)由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x)的周期为2，
则f(2 017)＝f(1)＝－f(－1)＝－(2－1－1)＝.]
[方法指津]
函数性质的综合应用类型
1．函数单调性与奇偶性的综合．注意奇、偶函数图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上单调性的关系．
2．周期性与奇偶性的综合．此类问题多为求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
3．单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
[变式训练2] (1)(2016·长春二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式＜f(1)的解集为( )
【导 号：04024122】
A. B．(0，e)
C. D．(e，＋∞)
(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∀x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)成立，当x∈(0,1)且x1≠x2时，有＜0.给出下列命题：
①f(1)＝0；
②f(x)在[－2,2]上有5个零点；
③点(2 014,0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；
④直线x＝2 014是函数y＝f(x)图象的一条对称轴．
则正确命题的序号是________.
【导 号：04024123】
(1)C (2)①②③ [(1)∵f(x)为R上的奇函数，则f＝f(－ln x)＝－f(ln x)，
∴＝＝|f(ln x)|，即原不等式可化为|f(ln x)|＜f(1)，∴－f(1)＜f(ln x)＜f(1)，即f(－1)＜f(ln x)＜f(1)．又由已知可得f(x)在R上单调递增，∴－1＜ln x＜1，
解得＜x＜e，故选C.
(2)令f(x－1)＝f(x＋1)中x＝0，
得f(－1)＝f(1)．
∵f(－1)＝－f(1)，
∴2f(1)＝0，
∴f(1)＝0，
故①正确；
由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x)＝f(x＋2)，
∴f(x)是周期为2的周期函数，
∴f(2)＝f(0)＝0，
又当x∈(0,1)且x1≠x2时，有＜0，
∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图：
由图知②③正确，④不正确，∴正确命题的序号为①②③.]