2019-2020学年福建省三明第一中学高一上学期第二次月考数学试题 10页

高一数学试卷 第 1 页 共 6 页 三明一中 2019-2020 学年上学期第二次月考 高一数学试卷 （考试时间：120 分钟 满分：100 分） 第Ⅰ卷（选择题 共 36 分） 一、单选题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项符合题目要求. 1．已知 315α =，则与角 α 终边相同的角的集合是 A． π{ | 2 π ,}4α α kk= − Z B． π{ | 2 π + , }4α α kk=Z C． 5π{ | 2 π ,}4α α kk= − Z D． 5π{ | 2 π + , }4α α kk=Z 2．下面说法正确的是 A．若 ∥ab，则 =ab B．若 ， ∥bc，则 ∥a c C. 若| | | |=ab，则 ∥ab D. 若 = λ λR（ ）a b ，则 3．设集合 {1,2}A = ，则满足 {1,2,3}AB= 的集合 B 的个数是 A．1 B．3 C． 4 D．8 4.下列四组函数中表示同一函数的是 A． ()f x x= ， 2( ) ( )g x x= B． ( ) | |f x x= ， C． 2()f x x= ， ()g x x= D． 3()f x x= ， ()g x x= 5.设 是第二象限角， ( ,4)Px 为其终边上的一点，且cos 5 xα = ，则 tanα = A． 3 4− B． 4 3− C． 3 4 D． 4 3 高一数学试卷 第 2 页 共 6 页 6.四边形 ABCD 中，设 AB = a ， AD = b ， BC = c ，则 DC = A． −+a b c B． ( ) −+b a c C． ++a b c D． −+b a c 7.设3 4 36xy==，则 21 xy+ 的值为 A．1 B． 2 C．3 D．6 8.若函数 sin ( 0 1)y a bx b b= +  且 的图象如图所示，则函数 log ( )by x a=−的图象可能是 9．函数 1( ) ( ) | sin 2 |3 xf x x=− 在 5π[0, ]4 上零点的个数为 A．2 B．4 C．5 D．6 10.设 0a  且 1a  ，函数 22( ) log | 4 3|af x a x ax= − + 在[2,3]上是增函数，则 a 的取值范围是 A．(1, )+ B. 2(0, ]3 C. 12[ , ]23 D. 13(0, ] [ , )32+ 高一数学试卷 第 3 页 共 6 页 二、多选题：本题共 2 小题，每小题 3 分，共 6 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合 题目要求，全部选对的得 3 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分. 11．若集合 { | lg 1}A x x=， { | ln( 2)}B x y x= = − ，则 A． { | 10}A x x= B． { | 2 10}A B x x=   C． { | 2}RC B x x= D． { | 0}A B x x= 12.已知 0ω  ， π||2φ  ，若 π 12x = 和 7π 12x = 是函数 ( ) cos( )fx ωx φ=+的两条相邻的对 称轴，将 ()y f x= 的图象向左平移 π 3 个单位长度得到函数 ()y g x= 的图象，则 A． ()gx是偶函数 B． ()gx在 π π[ , ]44− 上单调递增 C． ()gx的周期为 π D． ()gx的图象关于直线 π ,0)2 （ 对称 第Ⅱ卷（非选择题 共 64 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分. 13．用二分法研究函数 3( ) 3 1f x x x= + − 的零点时，第一次经过计算得 (0) 0f  ， (0.5) 0f  ， 可得其中一个零点 0x  ________，第二次应计算________． 14．已知幂函数 ()y f x= 的图象过点 1(2, )4 ，则 (3)f =______. 15．已知 1sin cos 8θ θ = ，且 π π 42θ，则cos sinθ θ−= . 16.已知定义在 （- ,0) (0,+ )上的奇函数 ()fx在 (0,+ )上为增函数，且 (3)=0f ，则不等 式 [ ( ) ( )] 0x f x f x− −  的解集是________． 高一数学试卷 第 4 页 共 6 页 四、解答题：本题共 6 小题，共 52 分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 17.(8 分) （1）化简： πsin( ) tan( π)2 sin( π) cos(3π ) α α α α −  − +  − ； （2）求值：sin( 960 ) cos1470 cos( 240 ) sin 210−    + −    . 18.（8 分） 已知函数 ( ) ( 0 1)xf x a a a=  且 . （1）若 (2) (1) 2ff−=，求 ()fx的解析式； （2）设 ( ) 1() ( ) 1 fxgx fx += − ，判断 ()gx的奇偶性，并说明理由. 19.（8 分） 已知 π( ) 2sin(2 )6f x x=+． （1）求 ()fx的单调递增区间； （2）若 π 1cos(2 )33α −=，求 ()f α 的值. 高一数学试卷 第 5 页 共 6 页 20.(8 分) 把函数 tanyx= 图象上所有的点向右平移 π 4 个单位长度，然后将图象上各点的横坐标缩短为 原来的 1 2 倍(纵坐标不变)，最后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的3 倍(横坐标不变)，得 到 函数 ()y f x= 的图象． （1）求 ()fx的最小正周期； （2）若 7π[0, ]24x ，求 的值域. 21.(10 分) 某地发生地质灾害导致当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一 种药剂以净化水质.已知每投放质量为 k ( mg )的药剂后，经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y ( /mg L )满足 ()y k f x= ，其中 2 2, 0 4,16() 14 , 4,22 x x fx x xx  +  =  +  − 当药剂在水中释放的浓度不低于 4 时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于 且不高于10 时称 为最佳净化. （1）如果投放的药剂质量为 ，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ （2）为了使在 7 天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质 量 的最小值. 高一数学试卷 第 6 页 共 6 页 22.(10 分) 已知函数 4( ) log (4 1) (xf x kx k= + + R) 为偶函数． （1）求 k 的值； （2）若方程 4( ) log ( 2 ) 0xf x a a−  − = 有且只有一个根，求实数 a 的取值范围． 高一数学答案 第 1 页 共 4 页 三明一中 2019-2020 学年上学期第二次月考 高一数学参考答案 一、单选题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D B A A C C D 二、多选题： 题号 11 12 答案 B、D C、D 三、填空题： 13. (0,0.5) ； (0.25)f 14. 1 9 15. 3 2− 16． 3 0) 3−（ ， （0，） 四、解答题： 17.解：（1）原式= cos tan ( sin ) ( cos ) α α α α  −  − ....................... 2 分 sin= sin cos α α α ............................. 3 分 1= cosα .................................. 4 分 （2）原式=sin120 cos30 cos120 ( sin30 )  +  −  ............ 5 分 sin 60 cos30 cos60 sin 30=    +    3 3 1 1 2 2 2 2=  +  ............................... 7 分 31 44=+ 1= ..................................... 8 分 18.解：（1）因为 2(2) (1) 2f f a a− = − = ，即 2 20aa− − = ， 解得 2a = 或 1a =− （舍）， ................................ 2 分 所以 ( ) 2xfx= . .......................................... 3 分 （2） ()gx是奇函数,理由如下： ........................... 4 分 高一数学答案 第 2 页 共 4 页 1() 1 x x agx a += − 的定义域是 ( ,0) (0, )− +  ， ................ 5 分 11( ) ( ) 11 xx xx aag x g x aa − − ++− = = = − −− ， 所以 ()gx是奇函数. ...................................... 8 分 19.解：（1）令 π π π2 π 22π (2 6 2k x k k− +  +  + Z) ， ......... 1 分 解得 π ππ π (36k x k k− +   + Z) ， ........................ 3 分 所以 ()fx的单调递增区间是 π π[ π, π](36k k k− + + Z) . ........ 4 分 （2） π π π( ) 2sin(2 )=2sin (2 )6 3 2f α α α= + − + ............... 5 分 π 122cos(2 ) 23 3 3α= − =  = . ......... 8 分 20．解：（1）依题意 π( )=3tan(2 )4f x x − ， ................... 3 分 所以 ()fx的最小正周期 π 2T = . ............................ 4 分 （2）因为 7π[0, ]24x ，所以 π π π2 [ , ]4 4 3x −  − ， .............. 5 分 所以 πtan(2 ) [ 1, 3]4x −  − ， .............................. 7 分 所以 ( ) [ 3,3 3]fx− ，即 的值域为[ 3,3 3]− . ........... 8 分 21.解：（1）当 =4k 时， 2 8, 0 4,4 2 28 , 4,1 x x y x xx  +  =  +  − 当 04x时， 2 844 x +显然成立， ...................... 1 分 当 4x  时，由 2 28 41 x x + − ，解得 4 16x ， ............... 3 分 综上，满足条件的 x 的取值范围为0 16x ， 高一数学答案 第 3 页 共 4 页 故若投放药剂质量为 4 mg ，则自来水达到有效净化一共可持续16 天． ....................................................... 4 分 （2）由题意知07x， 2 2 , 0 4,16 14 , 4,22 kx kx y kx k xx  +  =  +  − 当 04x时， 2 216 kxyk=+在区间 0, 4]（ 上单调递增， 则 23k y k ； 当 47x时， 14 15 2 2 2 2 2 kx k k ky xx += = +−− 在区间 ,7]（4 上单调递减， 则 7 34 k yk ， 综上， 7 34 k yk . ...................................... 7 分 为使 4 10y 恒成立，只要满足 7 44 3 10 k k     ， ................. 8 分 解得16 10 73k ， 所以应该投放的药剂质量 k 的最小值为16 7 mg . .............. 10 分 22.解：（1）因为 ()fx是偶函数，∴ ( ) ( )f x f x−= ， 即 44log (4 1) log (4 1)xxkx kx− + − = + + ，所以 4 41log 2 41 x x kx − + = + ，1 分 化简得 4log 4 =2x kx− ，即 2x kx−= ， 则有 2 +1 =0kx（ ） 对任意的 xR 恒成立， .................... 3 分 于是有 2 +1=0k ，所以 1 2k =− . ............................. 4 分 （2）因为 4( ) log ( 2 ) 0xf x a a−  − = 即 44 1log (4 1) log ( 2 ) 02 xxx a a+ − −  − = ，等价于 1 2 4 4 4 4 4 1log (4 1)= +log ( 2 ) log 4 +log ( 2 ) log 2 ( 2 )2 xx x x x xx a a a a a a+  − =  − =   −， 高一数学答案 第 4 页 共 4 页 即 4 1=2 ( 2 )x x xaa+   − ， ................................ 6 分 即 2(1 ) (2 ) 2 1 0xxaa−  +  + = ． 令 2xt = ，则关于t 的方程 2(1 ) 1 0a t at− + + = 有唯一的正根． .. 7 分 ①当10a−=即 1a = 时，方程( 即 10t += ， 解得 1t =− ，不符合题意． ................................ 8 分 ②当10a−即 1a  时，记 2( ) (1 ) 1g t a t at= − + + ，因为 (0) 1g = ， 方程 有唯一的正根即 2 10 4(1 ) 0 02( 1) a aa a a   − − − =   − 或10a−， 解得 2 2 2a = − − 或 1a  , ................................ 9 分 综上所述，实数 a 的取值范围是{ 2 2 2} (1, )− − +  . ....... 10 分