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- 2021-04-12 发布
长郡中学2017—2018学年度高二第二学期入学考试
数学（文科）
时量：120分钟 满分：150分
得分：
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知集合A={1,2,3},B={},则AB=
A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2}
C.{1,2,3} D.{l,2}
2.已知一组数据的平均数是2,方差是,那么另一组数据,，，，的平均数和方差分别为
A.2, B.2,1 C.4, D.4,3
3.若复数在复平面内对应的点在y轴上,则|z|=
A.1 B.3 C.2 D.4
4.在区间[-1,4]上随机选取一个数x,则x1的概率为
A. B. C. D.
5.已知双曲线的渐近线方程是,则m的值为
A.1 B.2 C.3 D.4
6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为
A.1 B. C. D.2
7.若变量x,y满足,则的最大值是
A.4 B.9 C.10 D.12
8.已知函数,若数列{}满足a,,且{}是递增数列,则实数a的取值范围是
A.(1,3) B.(1,2] C.(2,3) D.[.3)
9.执行如图所示的程序框图,输出S的值为
A.2 B.-1 C.1 D.O
10.设在上单调递增；,则p是q的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.以上都不对
11.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则
cosA=
A. B. C. D.
12.已知F是抛物的焦点,点A、B 在该抛物线上且位于x轴的两侧, (其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是
A.2 B.3 C. D.
选择题答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得分
答案
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.)
13.幂函数在其图象上点(2,16)处的切线方程为
14.函数的最大值为
15.已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a(2a+b),则a与b的夹角为
16.如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60°，E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC 向上折起，使A、B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为
三、解答题(本大题共7小题,共70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分12分)
已知公差不为零的等差数列{}中,=4,且,,成等比数列.
(Ⅰ)求数列{}的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列{}的前n项和.
18.(本题满分12分)
如图，在三棱锥D-ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE平面ABC,F为AB的中点
(Ⅰ)求证:平面ABD平面DEF;
(Ⅱ)若ADDC，AC=4，,求四面体F-DBC的体积.
19.(本题满分12分)
某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间第x
周和市场占有率y(%)的几组相关数据如下表:
x
1
2
3
4
5
Y
0.03
0.06
0.1
0.14
0.17
(Ⅰ)根据表中的数据,用最小。二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(Ⅱ)根据上述线性回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势,并预测在第几周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过0.40%(最后结果精确到整数).
参考公式:
20.(本题满分12分)
已知椭圆的两个焦点分别为,离心率为.设过点的直线与椭圆C相交于不同两点A、B,周长为8.
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;
(Ⅱ)已知点T(4,0),证明:当直线变化时,总有TA与TB的斜率之和为定值.
21.(本题满分12 分)
已知(a0,且a为常数
).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若方,在区间(1,+)内,存在，且时,使不等式
成立,求k的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题满分10分)
已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,曲线、相交于A、B 两点.
(Ⅰ)求A、B两点的极坐标;
(Ⅱ)曲线与直线分别相交于M、N两点,求线段MN的长度.
23.[选修4-5:不等式选讲](本题满分10分)
已知函数,
(Ⅰ)求的解集
(Ⅱ)若对任意的,都存在一个s使得.求的取位范围.
长郡中学2017—2018学年度高二第二学期入学考试
数学(文科)参考答案
一、选择题
l.D【解析】由得，-32 或a<- -12
9.C [解析]执行程序,当i=1，S=1-1=0，i=2，S=1，i=3，S=0,按照此规律，i=2017，S=0,当i=2018，S=1，执行完后，i=2019不满足条件，跳出循环，所以输出S=1，故选
C.
l0.C [解析]∵在上单调递增，
,即在R上恒成立,∴,即,即,又因为,.根据充分必要条件的定义可判断:p是q的必要不充分条件,故选C.
11.C [解析]设BC边上的高线为AD，则BC=3AD,所以AC=,.由余弦定理，知cosA=
,故选C.
l2.B [解析]据题意得F(,0),设,,则,,,或,因为A、B位于x轴两侧,所以.ABO与AFO面积之和为S=
二、填空题
13.
14. 5 【解析】因为，而所以当sin x= 1时,取最大值5.
15. 【解析】由已知可得，设与的夹角为,则有，又因为，所以.
16.【解析】∵DAB= 60°∴三棱锥P-DCE 各边长度均为1，∴三棱锥P- DCE为正三棱锥P点在底面DCE 的投影为等边△DCE的中心，设中心为O，∴OD=OE=0C=，
在直角△POD 中：，
∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为，则O'P=O'D 设O'P=O'D =R,
则在直角△OO’D 中：，，
∴体积为
故答案为：
三、解答题
l7.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}公差为，∵且,,成等比数列.
成等.
即成等比数列，所以有
即，
解得d =2，
∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)知： ，
.
18.【解答】证明:(I )∵DE平面ABC，AB平面ABC，∴ABDE，
又F为AB 的中点，DA=DB，∴ABDF,
又DE、DF平面DEF，DEDF=D，
∴AB平面DEF，
又∵AB平面ABD,∴平面ABD平面DEF.
(Ⅱ)∵DA=DB=DC，E为AC上的一点,DE平面ABC,
∴线段DA、DB、DC在平面ABC的射影EA、EB、EC满足EA=EB=EC,
∴△ABC为直角三角形,即ABBC,
由ADDC,AC=4,BAC=45°,
∴AB=BC=,DE=2,
∴,
∴四面体F-DBC的体积
l9.[解析](I)由题中的数据可知:,
=
，
所以y关于x的线性回归方程:；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,解得,
所以自上市起经过12个周,该款旗舰机型市场占有率能超过0.40%.
20.【解析】
(Ⅰ) 由题意知，4a=8，所以a=2.
因为，所以c=1，则.
所以椭圆C的方程为.
(Ⅱ)证明:当直线垂直与x轴时，显然直线TS与TR的斜率之和为0,
当直线不垂直与x轴时，设直线的方程为,,,
,整理得:,
恒成立,
，
由=TA，TB的斜率存在，
由A、B两点的直线y=k(x-1),
故y=k(x-1),y=k(x-1),
由2x-5（x+x）+8==0，
∴，
∴直线TA与TB的斜率之和为0，
综上所述，直线TA与TB的斜率之和为定值，定值为0.
21. [解析](I)∵f(x)=(a0,且a为常数)，
∴f´（x）=.
∴①若a>0时，当00;当>1时,f´(x)<0.即a>0时，
函数f(x)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).
②若a<0时，当01时，f´(x)>0.即a<0时，
函数f(x)单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0，1).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=在区间(1，+)上单调递减，不妨设x>x>1,则f(x)>f(x),
∴不等式|f(x)-f(x)|k|-|可化为f(x)-f(x)k(-).即f()+kf(x)+k,
令F(x)=f(x)+k,
则F(x)在区间(1，+)上存在单调递减区间，
∴F´(x)=f´(x)+=-+=<0 有解，
即1)，
∴k<有解，
令G(x)=,
则G´(x)=，
由G´(x)=0得x=e,
当x(1,e)时,G´(x)>0,G(x)单调递增;
当x(e,+)时,G´(x)<0,G(x)单调递减.
∴G(x)max=G(e)=，
故k<.
22.[解析](I)由得 cos=8,
∴=16,
即=土4.
∴A、B两点的极坐标为:A(4，)，B(-4,)或B(4,).
(Ⅱ)由曲线C的极坐标方程cos2=8化为(cos-sin)=8,
得到普通方程为-=8.
将直线代入x-y=8,
整理得t+2t- 14=0.
∴|MN|=.
23.[解析](I)∵函数f(x)=|2x+1|-|2x-3|,故f(x)1,
等价于|2x+1|-|2x-3|1,
等价于,或，或
.
解求得xØ,解求得,解求得x>，
综上可得，不等式的解集为{x|x}.
(Ⅱ)若对任意的tR,都存在一个s使得g(s)f(t),可得g(x)minf(x)max.
∵函数f(x)=|2x+1|-|2x-3||2x+1-(2x-3)|=4,∴f(x)max=4.
∵g(x)=|x+1|+|x-a||x+1-(x-a)|=|a+1|,故g(x)min=|a+1|,
∴|a+1|4,∴a+14,或a+1-4,求得a3,或a-5,
故要求的a的范围为{x|a3,或a-5}.