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- 2021-04-12 发布
一、考纲要求：
1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
二、概念掌握和解题上注意点：
1. 求圆的方程的两种方法
1 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
2 待定系数法：
①若已知条件与圆心 a，b 和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于
a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值.
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，
E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值.
2.与圆有关的最值问题的三种几何转化法
1 形如μ＝y－b
x－a
形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.
2 形如 t＝ax＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.
3 形如 m＝ x－a 2＋ y－b 2 形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方
的最值问题.
3.求与圆有关的轨迹问题的四种方法
1） 直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.
2） 定义法：根据圆的定义列方程求解.
3） 几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.
4） 代入法 相关点法 ：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
求解.
三、高考考题题例分析
例 1.（2018 天津卷） 已知圆 x2+y2﹣2x=0 的圆心为 C，直线 ，（t 为参数）
与该圆相交于 A，B 两点，则
△
ABC 的面积为 ．
【答案】
例 2.（2018 江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y=2x 上在第一象限内的点，
B（5，0），以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D．若 =0，则点 A 的横坐标
为 ．
【答案】3
【解析】：设 A（a，2a），a＞0，
∵B（5，0），∴C（ ，a），
则圆 C 的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．
联立 ，解得 D（1，2）．
∴ = ．
解得：a=3 或 a=﹣1．
又 a＞0，∴a=3．
即 A 的横坐标为 3．
故答案为：3．
例 3.(2015 高考山东卷)一条光线从点 2, 3 射出，经 y 轴反射后与圆
相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
（A） 5
3
或 3
5
（B） 3
2
或 2
3
（C） 5
4
或 4
5
（D）
4
3
或 3
4
【答案】D
【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点 2, 3 ，设反射光线所在直线
的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为： ，即： .
又因为光线与圆相切， 所以， ,
整理： ，解得： 4
3k ，或 3
4k ,故选 D．
6．直线 x－3y＋3＝0 与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10 相交所得弦长为 ( )
A． 30 B．5 3
2
C．4 2 D．3 3
【答案】A
【解析】圆心(1,3)到直线的距离为|1－3×3＋3|
12＋32
＝ 10
2
，从而得所求弦长为 2 10－
10
2
2
＝
30，故选 A．
7．过点(1，－2)作圆(x－1)2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为 A，B，则 AB 所在直线的方程
为 ( )
A．y＝－ 3
4 B．y＝－1
2
C．y＝－ 3
2 D．y＝－1
4
【答案】B
【解析】圆(x－1)2＋y2＝1 的圆心为(1,0)，半径为 1，
以 1－1 2＋ －2－0 2＝2 为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y＋1＝0，即 y＝－1
2.
8．在平面直角坐标系中，直线 y＝ 2x 与圆 O：x2＋y2＝1 交于 A，B 两点，α，β的始边是 x
轴的非负半轴，终边分别在射线 OA 和 OB 上，则 tan(α＋β)的值为 ( )
A．－2 2 B．－ 2
C．0 D．2 2
【答案】A
【解析】由题可知 tan α＝tan β＝ 2，那么 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝－2 2，故选 A．
9．已知圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 的圆心在直线 ax－by＋1＝0 上，则 ab 的取值范围是
( )
A． －∞，1
4 B． －∞，1
8
C． 0，1
4 D． 0，1
8
【答案】B
10．设 P 是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4 上的动点，Q 是直线 x＝－3 上的动点，则|PQ|的最小值为
( )
A．6 B．4
C．3 D．2
【答案】B
【解析】如图所示，圆心 M(3，－1)与直线 x＝－3 的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆
的半径为 2，故所求最短距离为 6－2＝4.
11．设 P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1 上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2 的最大值为 ( )
A．6 B．25
C．26 D．36
【答案】D
【解析】(x－5)2＋(y＋4)2 表示点 P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)
的距离 d＝ 5－2 2＋ －4 2＝5.
则点 P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为 6，从而(x－5)2＋(y＋4)2 的最大值为 36.
12．过动点 M 作圆：(x－2)2＋(y－2)2＝1 的切线 MN，其中 N 为切点，若|MN|＝|MO|(O 为坐
标原点)，则|MN|的最小值是 ( )
A．3 2
4 B．7 2
8
C． 2 D．9 2
8
【答案】B
二、填空题
13．已知点 M(1,0)是圆 C：x2＋y2－4x－2y＝0 内的一点，那么过点 M 的最短弦所在直线的
方程是________．
【答案】x＋y－1＝0
【解析】圆 C：x2＋y2－4x－2y＝0 的圆心为 C(2,1)，
则 kCM＝1－0
2－1
＝1.
∵过点 M 的最短弦与 CM 垂直，∴最短弦所在直线的方程为 y－0＝－1×(x－1)，即 x＋y－1
＝0.
14．在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的
所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．
【答案】(x－1)2＋y2＝2
【解析】因为直线 mx－y－2m－1＝0 恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线 mx－y－2m
－1＝0 的最大距离为 d＝ 2－1 2＋ －1－0 2＝ 2，所以半径最大时的半径 r＝ 2，
所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
15．若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为 2 3，则 a＝________.
【答案】1
【解析】两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为 y＝1
a
，如图，由已知得|AC|＝ 3，|OA|
＝2，
∴|OC|＝1
a
＝1，∴a＝1.
16．一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且在直线 y＝x 上截得的弦长为 2 7，则
该圆的方程为________．
【答案】x2＋y2－6x－2y＋1＝0 或 x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0
法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线 y＝x 的距离为|a－b|
2
，∴
r2＝ a－b 2
2
＋7，即 2r2＝(a－b)2＋14.①
由于所求圆与 y 轴相切，∴r2＝a2，②
又∵所求圆的圆心在直线 x－3y＝0 上，∴a－3b＝0，③
联立①②③，解得
a＝3，
b＝1，
r2＝9
或
a＝－3，
b＝－1.
r2＝9.
故所求圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝9 或(x－3)2＋(y－1)2＝9.
法三：设所求的圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为 －D
2
，－E
2 ，半径 r＝
1
2 D2＋E2－4F.
在圆的方程中，令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0.
故所求圆的方程为 x2＋y2－6x－2y＋1＝0 或 x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.
22．已知圆 C 的方程为 x2＋(y－4)2＝4，点 O 是坐标原点，直线 l：y＝kx 与圆 C 交于 M，N
两点．
(1)求 k 的取值范围；
(2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比为1
3
的两段弧？
若能，求出直线 l 的方程；若不能，请说明理由.
【答案】(1) (－∞，－ 3)∪( 3，＋∞)；
(2)见解析
(2)假设直线 l 将圆 C 分割成弧长的比为1
3
的两段弧，
则劣弧MN
︵
所对的圆心角∠MCN＝90°，
由圆 C：x2＋(y－4)2＝4 知圆心 C(0,4)，半径 r＝2.
在 Rt
△
MCN 中，
可求弦心距 d＝r·sin 45°＝ 2，
故圆心 C(0,4)到直线 kx－y＝0 的距离 |0－4|
1＋k2
＝ 2，
∴1＋k2＝8，k＝± 7，经验证 k＝± 7满足不等式(*)，
故 l 的方程为 y＝± 7x.
因此，存在满足条件的直线 l，其方程为 y＝± 7x.