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- 2021-04-12 发布
2019-2020学年黑龙江省伊春市第二中学高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：由题意知，故选B.
【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据偶次根式被开方数非负、分母不为零，列出不等式组，解出的取值范围，即可得出函数的定义域.
【详解】
由题意可得，解得且，
因此，函数的定义域为.
故选：B.
【点睛】
本题考查定义域的求解，要结合一些常见的求定义域的基本原则列不等式组求解，考查运算求解能力，属于基础题.
3．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad，则扇形的面积为 ( )
A． B．3 C．6 D．9
【答案】D
【解析】试题分析：
【考点】扇形面积计算.
4．设是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】A
【解析】先通过给出的解析式求得的值，接着因为奇函数的性质有，，从而求得的值.
【详解】
当时，， ，又是奇函数， ， .
故选：A
【点睛】
本题主要考查利用函数的奇偶性求值的问题，属于基础题.
5．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先由诱导公式可得sin160°=sin20°，再由两角和的余弦公式即可求值.
【详解】
cos20°cos10°–sin160°sin10°＝cos20°cos10°–sin20°sin10°＝cos30°．故选B．
【点睛】
本题考查了诱导公式和两角和的余弦公式，直接运用公式即可得到选项，属于较易题.
6．在中，为线段上的一点，，且，则
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出 ，利用平面向量基本定理求出x，y的值
【详解】
由题意，∵，
∴，即 ，
∴，即
故选：A．
【点睛】
本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．
7．为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】B
【解析】利用平移规律可得出结论.
【详解】
，因此，为了得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数的相位变换，再变换时要确保两函数的名称一致，同时左右平移指的是在自变量上变化了多少，考查推理能力，属于基础题.
8．函数的部分图象如图，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】略
9．若函数，则f(log43)＝( )
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果.
【详解】
f(log43)＝=3,选C.
【点睛】
本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.
10．设向量满足，，，，则（ ）
A.2 B.4
C.5 D.1
【答案】C
【解析】试题分析：由，，，，则，所以
，故选C.
【考点】向量的运算.
11．已知是锐角，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，可得出，求出的取值范围，可得出，再利用二倍角的降幂公式可求出的值.
【详解】
设，则，
则，
，，即，所以，，
，，因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查诱导公式以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.
12．已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【详解】
函数恰有4个零点，即方程，
即有4个不同的实数根，
即直线与函数的图象有四个不同的交点．
又
做出该函数的图象如图所示，
由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，
故函数恰有4个零点时，
b的取值范围是故选D．
【考点】1、分段函数；2、函数的零点．
【方法点晴】
本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误．
二、填空题
13．已知幂函数的图像过点，则_________．
【答案】
【解析】试题分析：由题意可知
【考点】幂函数
14．已知，为单位向量，当它们的夹角为时，在方向上的投影为________.
【答案】
【解析】由投影的定义可求出在方向上的投影.
【详解】
由题意可知，在方向上的投影为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查投影的计算，熟悉投影的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
15．已知角终边上一点，则的值为__________.
【答案】
【解析】由三角函数的定义求出的值，然后利用诱导公式可求出的值.
【详解】
由三角函数的定义可得，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用三角函数的定义和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.
16．已知方程有解，则的范围是______.
【答案】
【解析】由题意得出，计算出函数的值域，即可得出实数的取值范围.
【详解】
由，可得，
令，，，
，，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用三角方程有解求参数的取值范围，将问题转化为正弦型二次函数的值域求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
17．已知，，与的夹角为.
（1）求；
（2）的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算出的值；
（2）由题意得出，利用平面向量数量积的定义和运算律可得解.
【详解】
（1）；
（2）.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的计算，同时也考查了利用平面向量数量积计算向量的模，考查计算能力，属于基础题.
18．已知向量，，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）计算出和的坐标，利用得出关于实数的等式，解出即可；
（2）求出的坐标，由，可得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的等式，解出即可.
【详解】
，
，
，，解得；
（2），
，，解得.
【点睛】
本题考查利用向量平行与垂直求参数，同时也考查了平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.
19．在平面直角坐标系xOy中，已知向量 ，＝(sin x，cos x)， x∈ .
（1）若⊥，求tan x的值；
（2）若与的夹角为，求x的值．
【答案】（1）1；（2）
【解析】试题分析：（1）本题考察的是两向量的垂直问题，若两向量垂直，则数量积为0，，则，结合三角函数的关系式即可求出的值．
（2）本题考察的向量的数量积的问题，若向量与向量的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求出的值．
试题解析：（Ⅰ）由题意知∵，∴
由数量积坐标公式得∴，∴
（Ⅱ）∵与的夹角为
，∴
又∵，∴
∴，即．
【考点】平面向量数量积的运算
20．已知.
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调区间.
【答案】（1）周期为；（2）递减区间为，递增区间为
.
【解析】（1）利用两角和的正弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的周期；
（2）分别解不等式、可得出函数的单调递增区间和单调递减区间.
【详解】
（1），
所以，函数的最小正周期为；
（2）由，得，
所以函数的单调递增区间为.
由，得，
所以函数的单调递减区间为.
【点睛】
本题考查正弦型函数的最小正周期和单调区间的计算，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，考查运算求解能力，属于中等题.
21．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移
个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当[,]时，求的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ）的最小正周期为.（Ⅱ）时，取最大值；
时，取最小值.
【解析】(I)先通过三角恒等变换公式把f(x)转化成,再求周期.
(2)按照左加右减，上加下减的原则先确定,再求特定区间上的最值即可.
（Ⅰ）,
所以函数的最小正周期为.
（Ⅱ）依题意,[]
因为，所以.
当，即时，取最大值；
当，即时，取最小值.
22．设函数且是定义域为R的奇函数．
求k值；
若，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的t的取值范围；
若，且在上的最小值为，求m的值．
【答案】（1）2；（2）；（3）2
【解析】试题分析：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值；（2）由（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为，即恒成立，由△＜0求得t的取值范围；（3）由求得a的值，可得 g（x）的解析式，令，可知为增函数，t≥f（1），令，分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值
试题解析：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0，∴1－（k－1）＝0，
∴k＝2，
（2）
单调递减，单调递增，故f（x）在R上单调递减。
不等式化为
，
解得
（3）
，
由（1）可知为增函数,
令h（t）＝t2－2mt＋2＝（t－m）2＋2－m2（t≥）
若m≥，当t＝m时，h（t）min＝2－m2＝－2，∴m＝2
若m<，当t＝时，h（t）min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去
综上可知m＝2．
【考点】1．指数函数综合题；2．函数奇偶性的性质