2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：7-3　基本不等式及不等式的应用（讲解部分） 10页

7.3　基本不等式及不等式的应用 高考理数 考点 基本不等式及其应用 考点清单 考向基础 1.基本不等式 　　其中  为正数a,b的算术平均数,  为正数a,b的几何平均数,基本 不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件   ≤  a>0,b>0 a=bab a b 2  2 a b ab 2.基本不等式的变形 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (2)a+b≥2  (a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号. (3)ab≤  (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. (4)a+ ≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;a+ ≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号. ab 2 2 a b     1 a 1 a (5) + ≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. (6)已知a,b是正数,则有  (调和平均数)≤  (几何平均数)≤  (算术 平均数)≤  (平方平均数),当且仅当a=b时取等号. 注意　运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立. b a a b 2ab a b ab 2 a b 2 2 2 a b 3.基本不等式与最值 已知x>0,y>0, (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值2  (简记:积定和最 小). (2)如果x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值 (简记:和定积最大). 注意　①求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一 p 2 4 s 正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值, “三相等”是指等号成立. ②连续使用基本不等式时,等号要同时成立. 考向突破 考向一 利用基本不等式求最值 例1   (命题标准样题,5)设正数m,n满足 + =1,则m+n的最小值为  (　　) A.26　　　　    B.25　　　　    C.16　　　　    D.9 4 m 9 n 解析　因为正数m,n满足 + =1, 所以m+n=(m+n)  =13+ + ≥13+2  =25, 当且仅当  即  时取等号.故选B. 4 m 9 n 4 9 m n     9m n 4n m 9 4m n n m  9 4 , 4 9 1, m n n m m n      10, 15 m n    答案    B 考向二 利用基本不等式解决实际问题 例2　网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内成为商业 的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开 展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月的运营发现,产 品的月销售量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3-  的函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进 货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每 件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司的最大月利润是        　　    万元. 2 1t  解析　由题意知t= -1(1≤x<3),设该公司的月利润为y万元,所以y=   x-32x-3-t=16x- -3=16x- + -3=45.5-  ≤45.5- 2  =37.5,当且仅当x= 时取等号,即最大月利润为37.5万元. 2 3-x 32 150% 2 t x      2 t 1 3-x 1 2 116(3- ) 3-x x     16 11 4 答案　37.5 方法    利用基本不等式求最值的方法 1.利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要 有两种思路: (1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解. (2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值. 2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添 项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式. 3.若一次应用基本不等式不能达到目的,则需多次应用基本不等式,但要注 意等号成立的条件必须要一致. 提醒　若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单调性求解. 方法技巧 例　(1)(2019安徽江南十校第二次大联考,10)已知实数x满足lo x>1,则函 数y=8x+  的最大值为  (　　) A.-4　　　　    B.8　　　　    C.4　　　　    D.0 (2)(2018湖北荆州一模,14)已知实数a>0,b>0,  是8a与2b的等比中项,则 +  的最小值是　　　    . 1 2 g 1 2 -1x 2 1 a 2 b 解析　(1)由lo x>1,得00,b>0,∴ + =(3a+b)  =5+ + ≥5+2  =5+2  , 当且仅当b=  a=  -2时取等号. ∴ + 的最小值为5+2  . 1 2 g 1 2 1 2 -1x 1 2 -1x 14(1-2 ) 1-2x x     1 4 1 2 -1x 2 1 a 2 b 1 2 a b     6a b b a 6b a a b  6 6 6 1 a 2 b 6 答案　(1)D　(2)5+2   6