2019年高考数学练习题汇总(四)不等式选讲 2页

‎(四)不等式选讲 ‎1．已知正数x，y满足x2＋y2＝2，求证：x＋y≥2xy.‎ 证明　∵x>0，y>0，‎ ‎∴要证x＋y≥2xy，只要证(x＋y)2≥4x2y2，‎ 即证x2＋y2＋2xy≥4x2y2.‎ ‎∵x2＋y2＝2，∴只要证2＋2xy≥4x2y2，‎ 即证2(xy)2－xy－1≤0，即证(2xy＋1)(xy－1)≤0.‎ ‎∵2xy＋1>0，∴只要证xy≤1.‎ ‎∵2xy≤x2＋y2＝2，∴xy≤1成立，‎ 当且仅当x＝y＝1时取等号．‎ ‎∴x＋y≥2xy.‎ ‎2．已知a，b，c都是正数且abc＝1，求证：(2＋a)(2＋b)(2＋c)≥27.‎ 证明　由算术－几何平均不等式可得 ‎2＋a＝1＋1＋a≥3，‎ ‎2＋b＝1＋1＋b≥3，‎ ‎2＋c＝1＋1＋c≥3.‎ 不等式两边分别相乘可得，‎ ‎(2＋a)(2＋b)(2＋c)≥3×3×3＝27＝27，‎ 当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．‎ ‎3．已知函数f(x)＝2|x－2|＋3|x＋3|.若函数f(x)的最小值为m，正实数a，b满足4a＋25b＝m，求＋的最小值，并求出此时a，b的值．‎ 解　依题意知，f(x)＝ 当x＝－3时，函数f(x)有最小值10，故4a＋25b＝10，‎ 故＋＝ ‎ ‎＝≥＝，‎ 当且仅当＝时等号成立，‎ 此时a＝，b＝.‎ ‎4．(2018·镇江调研)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋a|，若对任意x∈R，不等式f(x)>a2－3恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解　∵对任意x∈R，不等式f(x)>a2－3恒成立，‎ ‎∴f(x)min>a2－3，‎ 又∵|x－a|＋|x＋a|≥ |x－a－(x＋a)|＝|2a|，‎ ‎∴|2a|>a2－3，‎ 即|a|2－2|a|－3<0，‎ 解得－1<|a|<3.‎ ‎∴－3