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- 2021-04-12 发布
专题一 选 讲
第一节：极坐标与参数方程
一．高考命题方向解读：
1.各类点的坐标；
2.各类直线与曲线线方程（一般直线，特殊直线如切线，弦，曲线类方程如圆，椭圆，双曲线，抛物线等），
3.距离类（如切线长度，弦长，特殊距离乘积如|PA|·|PB|等）；
4图形计算类（如面积周长夹角）；
5范围最值类。
二．主干知识：
（一）、极坐标知识点
1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
3．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.
极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.
4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。
如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标
表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。
5． 极坐标与直角坐标的互化：
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
6.曲线的极坐标方程：
1．直线的极坐标方程：若直线过点，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：
几个特殊位置的直线的极坐标方程
（1）直线过极点 （2）直线过点且垂直于极轴 （3）直线过且平行于极轴
方程：（1） 或写成及 （2） （3）ρsinθ=b
2．圆的极坐标方程： 若圆心为，半径为r的圆方程为：
几个特殊位置的圆的极坐标方程
（1）当圆心位于极点，r为半径 （2）当圆心位于(a>0),a为半径 （3）当圆心位于，a为半径
方程：(1) (2) (3)
7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.
（二）、参数方程知识点
1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C上的点满足，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。
（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。）
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2． 曲线的参数方程
（1）圆的参数方程可表示为.
（2）椭圆的参数方程可表示为.
（3）抛物线的参数方程可表示为.
（4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.
3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.
规律方法指导：
1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.
2、把曲线的普通方程
化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。
三．专项研究
1、 高考原题展示：
1.2014全国卷I:
已知曲线，直线：（为参数）.
（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．
2、2014全国卷II:
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，
.
（1）求C的参数方程；
（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.
3．2015全国卷I:
在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求，的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积.
4．2015全国卷II:
在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．
（Ⅰ）．求与交点的直角坐标；
（Ⅱ）．若与相交于点，与相交于点，求的最大值．
5、2016全国卷I:
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数，a＞0）．
在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：
．
（I）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（II）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．
6、2016全国卷II:
在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是错误！未找到引用 。（t为参数），l与C交于A，B两点，∣AB∣=，求l的斜率。
1、 题型与考点（1）
（2）参数方程与普通方程的互化
(3)
3、解题方法及步骤
（1）、参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数，先确定一个关系（或），再代入普通方程，求得另一关系（或）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）
例1、方程表示的曲线是（ ）
A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
（2）、极坐标与直角坐标的互化
利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为，它的极坐标为，则 ；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角.
例2、极坐标方程表示的曲线是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
（3）、参数方程与直角坐标方程互化
例题3：已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．
（4）利用参数方程求值域
例题4、在曲线：上求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
（5）直线参数方程中的参数的几何意义
例5、已知直线经过点,倾斜角，
①写出直线的参数方程;
②设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.
（6）、参数方程与极坐标的简单应用
参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.
例6、已知的三个顶点的极坐标分别为,判断三角形ABC的形状，并计算其面积.
四，巩固练习：[ :学, , ]
1．【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.若直线与圆相交于不同的两点.
（1）写出圆的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；
（2）若弦长，求直线的斜率.
2．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为(，为参数)，曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(Ⅱ)设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值.
3．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求，的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积.
4．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ， 它与曲线C：交于A、B两点。
（1）求|AB|的长
（2）在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离。
5．选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系,已知曲线,已知过点的直线的参数方程为:直线与曲线分别交于
(1)写出曲线和直线的普通方程;
(2)若成等比数列,求的值.