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- 2021-04-12 发布
2019～2020学年高二上学期期末考试
数学（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2．请将各题答案填写在答题卡上.
3．本试卷主要考试内容：必修1～5占40%，选修2—1占60%.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合，由此求得
【详解】由，解得或，即或.所以.
故选：D.
【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2.已知椭圆：的焦距为2，且短轴长为6，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得，，根据即可求出椭圆的标准方程.
【详解】解：依题意可得，，则，，所以，所以C的方程为.
故选：
【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力，属于基础题.
3.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的最小正周期是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据伸缩变换得出函数，由周期公式求解即可
【详解】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象
则函数的最小正周期是
故选：C
【点睛】本题主要考查了求图象变化后的解析式以及求正弦型函数的最小正周期，属于基础题.
4.某几何体的三视图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位:)是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构后求体积．
【详解】由三视图知，原几何体是一个正方体在旁边挖去一个三棱柱，尺寸见三视图，
其体积为．
故选：D．
【点睛】本题考查三视图，考查柱体的体积．解题关键是由三视图还原出原几何体．
5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由渐近线方程得出，再由离心率公式以及的关系求解即可.
【详解】由题可得，所以．
故选：A
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.
6.已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，
之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）
6
8
10
12
6
3
2
A. 可以预测，当时， B.
C. 变量，之间呈负相关关系 D. 该回归直线必过点
【答案】D
【解析】
【分析】
将代入回归直线方程，即可判断A选项；算出的平均数，根据样本点中心一定在回归直线上，判断BD选项；根据回归直线的斜率判断C选项.
【详解】对于A选项，当时，，A选项正确；
对于B选项，，
将点（，）的坐标代入回归直线方程得
解得，B选项正确；
对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量，之间呈负相关关系，选项正确；
对于D选项，由B选项可知，回归直线必过点，D选项不正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了由回归直线方程求参数等，属于基础题.
7.双曲线与双曲线有相同的（ ）．
A. 离心率 B. 渐近线 C. 实轴长 D. 焦点
【答案】D
【解析】
【分析】
利用双曲线方程得出离心率，渐近线方程，实轴长，焦点坐标即可判断.
【详解】由双曲线的方程得，离心率为，渐近线方程为，实轴长为，焦点为
由双曲线的方程得，离心率为，渐近线方程为，实轴长为，焦点为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质，属于基础题.
8.“点在圆内”是“直线与圆相离”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据点与圆，直线与圆的位置关系判断即可.
【详解】若点在圆内，则
则圆心到直线的距离
则直线与圆相离
反之
直线与圆相离，则圆心到直线的距离，即，则点在圆内
所以“点在圆内”是“直线与圆相离”的充分必要条件
故选：C
【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断，涉及点与圆，直线与圆的位置关系，属于基础题.
9.椭圆，点，为椭圆在左、右焦点，在椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，根据椭圆的焦点坐标以及数量积公式得出，则点在以原点为圆心，为半径的圆上，确定的大小，使得该圆与椭圆有交点，得出，由的关系化简得出椭圆的离心率范围.
【详解】设，则，∴
∴点在以原点为圆心，为半径的圆上，该圆与椭圆有交点，
∴，则，解得
故选：C
【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率的范围，属于基础题.
10.下列命题中错误的是（ ）
A. 已知，若命题，则命题
B. 命题“若，则且”的逆否命题为“若或，则”
C. 命题“，”为真命题
D. 命题，，则，
【答案】A
【解析】
【分析】
化简命题，的不等式，根据否定的定义判断A选项；根据逆否命题的定义判断B选项；利用辅助角公式以及正弦函数的性质判断C选项；根据否定的定义判断D选项.
【详解】对于A选项，由命题，得或，由命题，则
而命题应是，则A不正确．
对于B选项，“若，则且”的逆否命题为“若或，则”，则B正确；
对于C选项，，，则C正确；
对于D选项，命题的否定，，则D正确
故选：A
【点睛】本题主要考查了写出原命题的逆否命题，判断命题的真假等，属于基础题.
11.若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（ ）
A. 11 B. 22 C. 44 D. 21
【答案】B
【解析】
分析】
根据椭圆和双曲线的定义列出方程组，求解即可得出答案.
【详解】，得，即．
故选：B
【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线定义的应用，属于基础题.
12.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线
上一点，且在第一象限，当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义可得，可得出，结合图形可知，当直线与抛物线相切时，最大，则最小，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用，求出方程组的解，即可得出点的坐标.
【详解】如下图所示：
过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义可得，
抛物线的准线为，则点，
由题意可知，轴，则，，
由图形可知，当直线与抛物线相切时，最大，则最小，
设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，
消去得，，，解得，则，
解得，此时，，因此，点的坐标为.
故选：B.
【点睛】本题考查根据抛物线上线段比的最值来求点的坐标，涉及抛物线定义的转化，解题的关键就是要抓住直线与抛物线相切这一位置关系来分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
第Ⅱ卷
二、填写题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知点，，三点共线，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】
因为，，三点共线，所以可设，得出，的坐标，对应相等，即可得出的值.
【详解】因为，，三点共线，所以可设
因为，
所以解得所以
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了根据三点共线求参数，属于基础题.
14.在区间上随机取一个数，则的概率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由得出，利用正弦函数的性质得出不等式的解集，再由几何概型概率公式求解即可.
【详解】所有基本事件构成的区间长度为
当时，
由，得，，则
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用几何概型概率公式求概率，属于基础题.
15.如图，在长方体中，设，，则_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
由平行四边形法则得出，再由数量积公式求解即可.
【详解】由题意得．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题.
16.已知数据的平均值为，数列为等差数列，且，则该组数据的方差为________.
【答案】0.1
【解析】
【分析】
先根据数列为等差数列求出，再根据方差公式可得．
【详解】因为数列为等差数列,且，所以 ，所以该组数据的方差为.故填0.1.
【点睛】考查方差的计算，基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的值；
（2）若，且的面积为，求的周长．
【答案】（1）（2）周长为6．
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理边化角得出，结合三角形内角和，诱导公式，两角和的正弦公式化简得出，由商数关系即可得出角的值；
（2）由三角形面积公式化简得出，再由余弦定理得出，即可得出的周长.
【详解】（1）由正弦定理边化角得．
∵，∴，代入得
，
∴．
∵，∴，，
又∵，∴．
（2）∵，∴
由余弦定理得
∴，∴
∴的周长为6．
【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式以及三角形面积公式，余弦定理，属于中档题.
18.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求直线与平面的所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由面面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）证明：由已知，，，
∴，∴．
又平面，平面，
∴，又，平面
∴平面．
又平面
∴平面平面．
（2）解：以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系
则，，，
∴，，．
设平面的一个法向量为，则
即
令，则．
设与平面所成的角为，
则．
【点睛】本题主要考查了证明面面垂直，利用向量法求线面角，属于中档题.
19.已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据与关系得出数列为等比数列，即可得出数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】解：（1）当时，，即；
当时，①，②
由②①得
，即，∴
即，又
∴数列为等比数列，公比为2，首项为1
∴
（2）由（1）可得，，，
∴③
④
③④得
，
∴．
【点睛】本题主要考查了利用与的关系求数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.
20.在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．甲镇有基层干部60人，乙镇有基层干部60人，丙镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从甲、乙、丙三镇共选20名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成，，，，5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求这20人中有多少人来自丙镇，并估计甲、乙、丙三镇的基层干部走访贫困户户数的中位数（精确到整数位）；
（2）如果把走访贫困户达到或超过35户视为工作出色，求选出的20名基层干部中工作出色的人数，并从中选2人做交流发言，求这2人中至少有一人走访的贫困户在的概率．
【答案】（1）28（2）
【解析】
【分析】
（1）按照比例得出这20人中来自丙镇的人数，利用频率直方图求中位数的方法求解即可；
（2）按照比例得出走访户数在，的人数，列举出6人中抽取2
人的所有情况，再由古典概型概率公式计算即可.
【详解】解：（1）20人中来自丙镇的有人．
∵，
∴估计中位数．
∴
（2）20名基层干部中工作出色的人数为
其中，走访户数在的有人，设为，，，
走访户数在有人，设为，
从6人中抽取2人有，，，，，，，，，，，，，，共15种
其中2人走访贫困户都在的有，，，，，，共6种．
故所求概率．
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图计算中位数以及古典概型概率公式计算概率，属于中档题.
21.已知椭圆离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线交椭圆于不同的两点，，求（为坐标原点）面积的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）将点代入椭圆方程，结合离心率公式以及的关系化简得出椭圆方程；
（2）设直线，并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得出，利用点到直线的距离公式得出原点到直线的距离，由三角形面积公式，换元法得出三角形面积的最大值.
【详解】（1）由，得，又，∴，，
∴椭圆的标准方程为．
（2）由题中的，可知直线的斜率不为0，∴设
由得．
∵在椭圆的内部，∴与椭圆总相交．
设，
则，
原点到直线的距离
令，则．
∵在上单调递增
∴当时，取到最小值
即当时，取到最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了由椭圆上的点求椭圆方程以及三角形的面积问题，属于中档题.
22.如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称
【解析】
【分析】
（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，则直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得，根据焦点弦公式，求出的值，即可得到抛物线方程.
（2）假设满足条件的点P存在，设，当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM，PN关于x轴对称，所以，即可求出的值. 当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.
【详解】解：（1）当直线l的倾斜角为45°，则的斜率为1，
，的方程为.
由得.
设，，则，
∴，，
∴抛物线C的方程为.
（2）假设满足条件的点P存在，设，由（1）知，
①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为（），
由得，
，
，.
∵直线PM，PN关于x轴对称，
∴，，.
∴，
∴时，此时.
②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，
易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.
综上，存在唯一的点，使直线PM，PN关于x轴对称.
【点睛】本题考查抛物线的焦点弦公式的应用，直线与抛物线的综合问题，属于中档题.