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- 2021-02-27 发布
湖南省益阳市第六中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷（文）
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集，集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2.已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．1 B．i C．－1 D．－i
3. 下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4.若向量的夹角为，且，则向量（ ）
A． B． C. D．
5.已知，且，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
6.已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
7.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8.设点是椭圆上异于长轴端点上的任意一点，分别是其左右焦点，为中心，，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
输出
开始
否
结束
是
9. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
10.的内角的对边分别为，若，，则（ ）
A．12 B．42 C．21 D．63
11.已知是定义域为的奇函数，满足
若，则（ ）
A． B． C． D．
12.设双曲线的左、右焦点分别为、。若点在双曲线右支上，且为锐角三角形，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.若实数满足则的最大值是 ．
14.口袋内装有一些除颜色不同之外其它均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，若红球有个，则黑球有___ ．
15.在平面直角坐标系中，，求过点与圆C：相切的直线方程 ．
16.已知函数，的四个根为，，，，且，则 ．
三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.若数列的前项和为，且 ．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
18.如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥底面ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，
AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若PB=2，求三棱锥的体积．
19. 某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A，B两项指标数据进行收集和分析、得到的数据如下表：
指标
1号小白鼠
2号小白鼠
3号小白鼠
4号小白鼠
5号小白鼠
A
5
7
6
9
8
B
2
2
3
4
4
（1）若通过数据分析，得知A项指标数据与B项指标数据具有线性相关关系，试根据上表，求B项指标数据关于A项指标数据的线性回归方程；
（2）现要从这5只小白鼠中随机抽取3只,求其中至少有一只的B项指标数据高于3的概率
参考公式：
20. 已知为坐标原点，点在抛物线上（在第一象限），且到轴的距离是到抛物线焦点距离的。
（1）求点到轴的距离；
（2）过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于点，直线交轴于点，且。求证：为定值。
21. 设函数.
（1）求的单调区间;
（2）若，为整数，且当时，，求的最大值.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C与直线l交于A、B两点，且M点的坐标为(3,4)，求的值．
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在实数满足，求实数a的最大值.
2019年益阳市六中高二期中考试试题参考答案
数学（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集，集合，，则集合（ B ）
A． B． C． D．
2.已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（ A ）
A．1 B．i C．－1 D．－i
3. 下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是（ C ）
A． B． C． D．
4. 若向量的夹角为，且，则向量（ D ）
A． B． C. D．
5. 已知，且，若不等式恒成立，则m的最大值为（ B ）
A．9 B．12 C．18 D．24
6.已知，且，则等于（ D ）
A． B． C． D．
7.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ C ）
A． B． C． D．
8.设点是椭圆上异于长轴端点上的任意一点，
分别是其左右焦点，为中心，，则此椭圆的离心率为（ C ）
A． B． C. D．
输出
开始
否
结束
是
9. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ D ）
A． B． C． D．
10.的内角的对边分别为，若，，则（ C ）
A．12 B．42 C．21 D．63
11.已知是定义域为的奇函数，满足
若，则（ B ）
A． B． C． D．
12.设双曲线的左、右焦点分别为、。若点在双曲线右支上，且为锐角三角形，则的取值范围（ D ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.若实数满足则的最大值是 2 ．
14.口袋内装有一些除颜色不同之外其它均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，若红球有个，则黑球有___15 ．
15.在平面直角坐标系中，，求过点与圆C：相切的直线方程 ．
16.已知函数，的四个根为，，，，且
，则 2 ．
三、解答题（本题共7道题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分）
17.若数列的前项和为，首项且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
解：（1）或；（2）．
解析：（1）当时，，则
当时，，
即或
由
（2），，
18.如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥底面ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD， AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若PB=2，求三棱锥的体积．
解：（1）
（2）
19. 某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A，B两项指标数据进行收集和分析、得到的数据如下表：
指标
1号小白鼠
2号小白鼠
3号小白鼠
4号小白鼠
5号小白鼠
A
5
7
6
9
8
B
2
2
3
4
4
（1）若通过数据分析，得知A项指标数据与B项指标数据具有线性相关关系，试根据上表，求B项指标数据y关于A项指标数据x的线性回归方程；
（2）现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有一只的B项指标数据高于3的概率
参考公式：
解：（1）根据题意，计算
，
=
，所以线性回归方程为。
（2）从这5只小白鼠中随机抽取三只，基本事件数为223,224,225,234,235,245，……，345
共10种不同的取法，其中至少有一只B项指标数据高于3的基本事件共9种取法，
所以所求概率为
20. 已知为坐标原点，点在抛物线上（在第一象限），且到轴的距离是到抛物线焦点距离的。
（1）求点到轴的距离；
（2）过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于点，直线交轴于点，且。求证：为定值。
解：（Ⅰ）由已知条件，又
，即点 到x轴的距离为2.
（Ⅱ）抛物线的方程为y2=4x．设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
，．
直线PA的方程为．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为．
由，得，．
．所以为定值．
21.（本小题满分12分）
设函数.
（1）求的单调区间;
（2）若，为整数，且当时，，求的最大值.
解：
（Ⅰ）的定义域为，。若，则，所以在内单调递增；若，则当时，，当时，，所以，在内单调递减，在内单调递增。......5分
（Ⅱ）由，有，当时，(x－k) f´(x)+x+1>0等价于，（）......7分
令，则。由（Ⅰ）知，在内单调递增，而，，所以在内存在唯一的零点，故在内存在唯一的零点，设此零点为，则。.....10分
当时，；当时，，所以在内的最小值为，又有，可得，所以。
所以。整数的最大取值为2。......12分
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C与直线l交于A、B两点，且M点的坐标为(3,4)，求的值．
（1）解：：，C：，即
所以C 的普通方程是
（2）解：将直线方程化为参数方程：
带入C的普通方程得：，设A，B对应的参数分别是，，则，所以
23.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在实数满足，求实数a的最大值.
解：（1）
当时，由，得
当时，由，得
当时，由，得
所以不等式的解集为
（2） X.K]
依题意有，即
解得
故的最大值为3