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- 2021-02-27 发布
专题限时集训(十八)
圆锥曲线的定义、方程与性质
(建议用时：4 5分钟)
1．设抛物线C1的方程为y＝x2，它的焦点F关于原点的对称点为E.若曲线C2上的点到E，F的距离之差的绝对值等于6，则曲线C2的标准方程为________．
【解析】 方程y＝x2可化为x2＝20y，它的焦点为F(0,5)，所以点E的坐标为(0，－5)，根据题意，知曲线C2是焦点在y轴上的双曲线，设方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2a＝6，a＝3，又c＝5，b2＝c2－a2＝16，
所以曲线C2的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
2．(2016·常州期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点P(1，－2)，则该双曲线的离心率为________．
【导学号：19592052】
[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
由点P(1，－2)在其直线上，得＝2.
∴离心率e＝＝＝.]
3．(2016·苏北四市摸底)已知双曲线x2－＝1(m>0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，则m＝________.
[双曲线x2－＝1(m>0)的渐近线方程为y＝±mx(m>0)．由题意可知m＝
eq f(r(3),3).]
4．(2016·南京盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，若曲线C经过点P(1,3)，则其焦点到准线的距离为________．
[由题意，可设曲线C的方程为y2＝2px(p>0)．
由于点P(1,3)满足y2＝2px，即9＝2p，∴p＝.
故焦点到准线的距离为.]
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．
＋＝1 [由e＝得＝①.又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.]
6．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则AB＝________.
12 [∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°，即y＝x－.
联立得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于AB＝xA＋xB＋p，∴AB＝＋＝12.]
7．(2016·南通三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．
y＝±x [抛物线y2＝－12x的焦点为(－3,0)，
故双曲线－y2＝1满足a2＋1＝9，∴a2＝8.
∴a＝±2.
∴双曲线的渐近线方程y＝±＝±x.]
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，若·＝0，且||＝||，则椭圆的圆心率为________．
－ [在Rt△ABF2中，设AF2＝m，
则BF2＝m，
所以4a＝(2＋)m，
又在Rt△AF1F2中，AF1＝2a－m＝m，
F1F2＝2c，
所以(2c)2＝2＋m2＝m2，
即2c＝m，所以e＝＝
＝＝－.]
9．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是________．
【导学号：19592053】
图17－2
[把x＝－c代入椭圆方程，得y＝±，∴PF＝.
∵OP∥AB，PF∥OB，∴△PFO∽△BOA，
∴＝，即＝，得b＝c，e＝.]
10．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若BC＝2BF，且AF＝3，则抛物线的方程是________．
y2＝3x [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AM，BN垂直准线于点M，N(图略)，则BN＝BF，又BC＝2BF，得BC＝2BN，所以∠NCB＝30°，有AC＝2AM＝6，
设BF＝x，则2x＋x＋3＝6⇒x＝1，又x1＋＝3，x2＋＝1，且x1x2＝，
所以＝，解得p＝，从而抛物线方程为y2＝3x.]
11．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________．
(2，＋∞) [∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知MF＝y0＋2.以F为圆心、FM为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.
由于以F为圆心、FM为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.]
12．如图17－3，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C的准线上的射影分别是M，N，若AM＝2BN，则k＝________.
图17－3
[设直线l与曲线C的准线的交点为E，因为AM＝2BN，所以BE＝BA，即B为AE的中点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得2x2＝x1－1，由得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，所以x2·x1＝1，即·x1＝1，得x1＝2，y1＝2，x2＝，y2＝，k＝.]
13．(2013·辽宁高考)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
44 [由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
∴PQ＝4b＝16>2a.
又∵A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的一支上，
且PQ所在直线过双曲线的右焦点，
由双曲线定义知
∴PF＋QF＝28.
∴△PQF的周长是PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.]
14．椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
－1 [已知F1(－c,0)，F2(c,0)，
直线y＝(x＋c)过点F1，且斜率为，
∴倾斜角∠MF1F2＝60°.
∵∠MF2F1＝∠MF1F2＝30°，
∴∠F1MF2＝90°，∴MF1＝c，MF2＝c.
由椭圆定义知MF1＋MF2＝c＋c＝2a，
∴离心率e＝＝＝－1.]
15．(2016·宿迁模拟)已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值为________．
[由||＝1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，
∵·＝0且P在椭圆上运动，∴PM⊥AM，即PM为⊙A的切线，连结PA(如图)，则||＝＝，
∵||min＝a－c＝5－3＝2，
∴||min＝.]
16．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
∪ [当点P位于椭圆的两个短轴端点时，△F1F2P为等腰三角形，此时有2个．
若点不在短轴的端点时，要使△F1F2P为等腰三角形，则有PF1＝F1F2＝2c或PF2＝F1F2＝2c.此时PF2＝2a－2c.所以有PF1＋F1F2>PF2，即2c＋2c>2a－2c，所以3c>a，即>，又当点P不在短轴上，所以PF1≠BF1，即2c≠a，所以≠. 所以椭圆的离心率满足