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- 2021-02-27 发布
第
1
节 直线的方程
最新考纲
1.
在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；
2.
理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3.
掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式
(
点斜式、两点式及一般式
)
，了解斜截式与一次函数的关系
.
1.
直线的倾斜角
(1)
定义：当直线
l
与
x
轴相交时，我们取
x
轴作为基准，
x
轴正向与直线
l
方向
之间所成的角
α
叫做直线
l
的倾斜角
.
(2)
规定：当直线
l
与
x
轴平行或重合时，规定它的倾斜角
为
.
(3)
范围：直线的倾斜角
α
的取值范围
是
.
知
识
梳
理
向上
0
[0
，
π)
2.
直线的斜率
(1)
定义：当直线
l
的倾斜角
α
≠
时
，其倾斜角
α
的正切值
tan
α
叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母
k
表示，即
k
＝
.
(2)
斜率公式：经过两点
P
1
(
x
1
，
y
1
)
，
P
2
(
x
2
，
y
2
)(
x
1
≠
x
2
)
的直线的斜率公式
为
k
＝
.
tan
α
3.
直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
______________________
与
x
轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
______________________
两点式
过两点
______________________
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
______________________
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax
＋
By
＋
C
＝
0(
A
2
＋
B
2
≠0)
所有直线
y
＝
kx
＋
b
y
－
y
0
＝
k
(
x
－
x
0
)
[
常用结论与微点提醒
]
1.
直线的倾斜角
α
和斜率
k
之间的对应关系：
2.
求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率
.
3.
截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为
0
，这是解题时容易忽略的一点
.
α
0°
0°<
α
<90°
90°
90°<
α
<180°
k
0
k
>0
不存在
k
<0
1.
思考辨析
(
在括号内打
“√”
或
“×”)
(1)
直线的倾斜角越大，其斜率就越大
.(
)
(2)
直线的斜率为
tan
α
，则其倾斜角为
α
.(
)
(3)
斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等
.(
)
(4)
经过任意两个不同的点
P
1
(
x
1
，
y
1
)
，
P
2
(
x
2
，
y
2
)
的直线都可以用方程
(
y
－
y
1
)(
x
2
－
x
1
)
＝
(
x
－
x
1
)(
y
2
－
y
1
)
表示
.(
)
诊
断
自
测
解析
(1)
当直线的倾斜角
α
1
＝
135°
，
α
2
＝
45°
时，
α
1
＞
α
2
，但其对应斜率
k
1
＝－
1
，
k
2
＝
1
，
k
1
＜
k
2
.
(2)
当直线斜率为
tan(
－
45°)
时，其倾斜角为
135°.
(3)
两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等
.
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
2.
(2018·
衡水调研
)
直线
x
－
y
＋
1
＝
0
的倾斜角为
(
)
A.30
° B.45°
C.120
°
D.150
°
解析
由题得，直线
y
＝
x
＋
1
的斜率为
1
，设其倾斜角为
α
，则
tan
α
＝
1
，又
0°
≤
α
＜
180°
，故
α
＝
45°
，故选
B.
答案
B
3.
如果
A
·
C
<0
，且
B
·
C
<0
，那么直线
Ax
＋
By
＋
C
＝
0
不通过
(
)
A
.
第一象限
B
.
第二象限
C
.
第三象限
D
.
第四象限
答案
C
4.
(
必修
2P89B5
改编
)
若过两点
A
(
－
m
，
6)
，
B
(1
，
3
m
)
的直线的斜率为
12
，则直线的方程为
________.
∴
直线
AB
的方程为
y
－
6
＝
12(
x
－
2)
，
整理得
12
x
－
y
－
18
＝
0.
答案
12
x
－
y
－
18
＝
0
5.
(
必修
2P100A9
改编
)
过点
P
(2
，
3)
且在两轴上截距相等的直线方程为
________.
答案
3
x
－
2
y
＝
0
或
x
＋
y
－
5
＝
0
考点一 直线的倾斜角与斜率
(
典例迁移
)
解析
(1)
直线
2
x
cos
α
－
y
－
3
＝
0
的斜率
k
＝
2cos
α
，
法二
设直线
l
的斜率为
k
，则直线
l
的方程
为
y
＝
k
(
x
－
1)
，即
kx
－
y
－
k
＝
0.
∵
A
，
B
两点在直线
l
的两侧或其中一点在直线
l
上，
【迁移探究
1
】
若将本例
(2)
中
P
(1
，
0)
改为
P
(
－
1
，
0)
，其他条件不变，求直线
l
斜率的取值范围
.
解
设直线
l
的斜率为
k
，则直线
l
的方程为
y
＝
k
(
x
＋
1)
，即
kx
－
y
＋
k
＝
0.
∵
A
，
B
两点在直线
l
的两侧或其中一点在直线
l
上，
【迁移探究
2
】
若将本例
(2)
中的
B
点坐标改为
B
(2
，－
1)
，其他条件不变，求直线
l
倾斜角的范围
.
解
由例
1(2)
知直线
l
的方程
kx
－
y
－
k
＝
0
，
∵
A
，
B
两点在直线
l
的两侧或其中一点在直线
l
上，
∴
(2
k
－
1
－
k
)(2
k
＋
1
－
k
)
≤
0
，
即
(
k
－
1)(
k
＋
1)
≤
0
，解得－
1
≤
k
≤
1.
答案
B
考点二 直线方程的求法
解
(1)
由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式
.
即
x
＋
3
y
＋
4
＝
0
或
x
－
3
y
＋
4
＝
0.
(2)
由题设知纵、横截距不为
0
，
故所求直线方程为
4
x
－
y
＋
16
＝
0
或
x
＋
3
y
－
9
＝
0.
(3)
当斜率不存在时，所求直线方程为
x
－
5
＝
0
满足题意；
当斜率存在时，设其为
k
，则
所求直线方程为
y
－
10
＝
k
(
x
－
5)
，
即
kx
－
y
＋
10
－
5
k
＝
0.
故所求直线方程为
3
x
－
4
y
＋
25
＝
0.
综上知，所求直线方程为
x
－
5
＝
0
或
3
x
－
4
y
＋
25
＝
0.
规律方法
1.
在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件
.
2.
对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用
(
若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零
).
【训练
2
】
求适合下列条件的直线方程：
(
1)
经过点
P
(4
，
1)
，且在两坐标轴上的截距相等；
(
2)
经过点
A
(
－
1
，－
3)
，倾斜角等于直线
y
＝
3
x
的倾斜角的
2
倍；
(
3)
经过点
B
(3
，
4)
，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形
.
解
(1)
设直线
l
在
x
，
y
轴上的截距均为
a
，
若
a
＝
0
，即
l
过点
(0
，
0)
和
(4
，
1)
，
(2)
由已知：设直线
y
＝
3
x
的倾斜角为
α
，则所求直线的倾斜角为
2
α
.
又直线经过点
A
(
－
1
，－
3)
，
即
3
x
＋
4
y
＋
15
＝
0.
(3)
由题意可知，所求直线的斜率为
±1.
又过点
(3
，
4)
，由点斜式得
y
－
4
＝
±(
x
－
3).
所求直线的方程为
x
－
y
＋
1
＝
0
或
x
＋
y
－
7
＝
0.
考点三 直线方程的综合应用
【例
3
】
已知直线
l
：
kx
－
y
＋
1
＋
2
k
＝
0(
k
∈
R
).
(
1)
证明：直线
l
过定点；
(
2)
若直线不经过第四象限，求
k
的取值范围；
(
3)
若直线
l
交
x
轴负半轴于
A
，交
y
轴正半轴于
B
，
△
AOB
的面积为
S
(
O
为坐标原点
)
，求
S
的最小值并求此时直线
l
的方程
.
(1)
证明
直线
l
的方程可化为
k
(
x
＋
2)
＋
(1
－
y
)
＝
0
，
∴
无论
k
取何值，直线总经过定点
(
－
2
，
1).
当
k
＝
0
时，直线为
y
＝
1
，符合题意，故
k
的取值范围是
[0
，＋
∞).
∴
S
min
＝
4
，此时直线
l
的方程为
x
－
2
y
＋
4
＝
0.
规律方法
1.
含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出
“
动中有定
”.
2.
求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值
.
【训练
3
】
(
一题多解
)
已知直线
l
过点
P
(3
，
2)
，且与
x
轴、
y
轴的正半轴分别交于
A
，
B
两点，如图所示，求
△
ABO
的面积的最小值及此时直线
l
的方程
.
从而所求直线方程为
2
x
＋
3
y
－
12
＝
0.
法二
依题意知，直线
l
的斜率
k
存在且
k
＜
0.
则直线
l
的方程为
y
－
2
＝
k
(
x
－
3)(
k
＜
0)
，
即
△
ABO
的面积的最小值为
12.
故所求直线的方程为
2
x
＋
3
y
－
12
＝
0.