2019-2020学年湖南省株洲市高一上学期期中数学试题（解析版） 14页

2019-2020 学年湖南省株洲市高一上学期期中数学试题 一、单选题 1．下列说法正确的是（ ） A．锐角是第一象限角 B．第二象限角是钝角 C．终边相同的角一定相等 D．不相等的角，终边必定不同 【答案】A 【解析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】 逐一考查所给的选项： A. 锐角是第一象限角，题中说法正确； B. 是第二象限角，但不是钝角，题中说法错误； C. 和 是终边相同的角，但是不相等，题中说法错误； D. 和 不相等，但是终边相同，题中说法错误； 故选：A. 【点睛】 本题主要考查角的概念的推广与应用，属于基础题. 2．下列区间中，使函数 为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解:因为使函数 为增函数，则结合正弦函数图像可知，选 C 3．下列函数中最小正周期为 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意逐一考查所给函数的最小正周期即可. 【详解】 逐一考查所给函数的最小正周期： A. 的最小正周期为 ； B. 的最小正周期为 ； 8 3 π 2 π 5 2 π 2 π 5 2 π π siny x= siny x= tan 2 xy = cos4y x= y sinx= π y sinx= 2π C. 的最小正周期为 ； D. 的最小正周期为 ； 故选：A. 【点睛】 本题主要考查三角函数的最小正周期及其判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算 求解能力. 4．设向量 ， ，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得到 x 的方程，解方程即可确定 x 的值. 【详解】 由向量垂直的充分必要条件可得： ，解得： . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查向量垂直的充分必要条件，属于基础题. 5．下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】逐一考查所给的不等式是否成立即可. 【详解】 由三角函数的单调性和性质可得： ,而 ，所以 ，选项 A 错误； ， ， 故 ，选项 B 错误； ，选项 C 正确； 2 xy tan= 21 2 π π= 4y cos x= 2 4 2 π π= ( )4,3a = ( )6,b x= a b⊥  x 9 2 − 8− 9 2 8 4 6 3 0x× + = 8x = − tan1 tan 2> − tan 735 tan800° > ° 6 4tan tan7 7 π π> 9tan tan8 7 π π> tan 2 ta 2)n(π− = − 0 1 2 2 ππ< < − < tan1 tan 2< − ( )tan 735 tan 735 720 tan15° ° ° °= − = ( )tan800 tan 800 720 tan80° ° ° °= − = 735 800tan tan° < ° 4 6 6 4, tan7 tan2 7 7 7 π π π π π π< < < ∴ > ，选项 D 错误； 故选：C. 【点睛】 本题主要考查三角函数的单调性，三角函数值的大小比较问题等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力. 6．已知 是第二象限角， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意结合同角三角函数基本关系和三角函数的符号即可确定三角函数式的 值. 【详解】 由题意可得： ， 故 ， 是第二象限角，则 ，故 . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查同角三角函数基本关系，象限角的符号问题等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力. 7．将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意利用平移变换的结论即可确定函数的解析式. 【详解】 由函数平移变换的性质可知，平移变换后函数的解析式为： 9tan tan tan tan8 8 8 7 π π ππ π = + = <   α 1sin cos 5 α α+ = cos sinα α− = 1 5 − 7 5 − 1 5 7 5 1 241 2sin 2cos ,2sin cos25 25 α α α+ = = − 2 49(cos sin ) 1 2sin 2cos 25 α α α− − == α cos 0,sin 0α α< > 7 5cos sinα α− = − sin 2 5y x π = +   10 π sin 2 10y x π = +   3sin 2 10y x π = +   sin 2y x= 2sin 2 5y x π = +   . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查三角函数的平移变换，属于基础题. 8．已知 ， 且点 位于 之间， ，则点 坐标为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】应用利用向量的坐标运算即可确定点 P 的坐标. 【详解】 由题意可得： ，设点 P 的坐标为： ， 结合平面向量的坐标运算有： ，即： , 据此可得： ，解得 ， 即点 P 的坐标为 . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查向量共线的应用，平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力. 9．已知 ， ， ，则（ ） A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线 C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线 【答案】A 【解析】由题意结合向量的运算法则和向量共线定理考查所给的选项是否正确即可. 【详解】 由题意可知： ， 故 ，选项 A 正确； sin 2 sin 210 5y x x π π  = − + =     ( )1 3, 2P − ( )2 0,4P P 1 2PP 1 2| | 2 | |PP PP= P (1, 2)− (2, 2)− (1,2) (2,2) 2 1 23PP PP=  ( ),P x y 3( ,4 ) ( 3,6)x y− − = − ( ,4 ) ( 1,2)x y− − = − 1 4 2 x y − = −  − = 1 2 x y =  = ( )1,2P AB 5a b= + BC 2 8a b= − + 3( )CD a b= − A B D A B C B C D A C D 5 , ( 2 8 ) 3( ) 5AB a b BD BC CD a b a b a b= + = + = − + + − = +    AB BD=  ，选项 B 错误； ，选项 C 错误； 由于 ，选项 D 错误； 故选：A. 【点睛】 本题主要考查向量的运算，向量共线的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力. 10．已知 ，函数 的图象关于直线 对 称，则 的 值可以是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知 关于直线 对称, 所以 , 所以 , ,当 时， ，故选 B. 11．已知 是 所在平面内一点，且满足 ，则 为 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角 形 【答案】B 【解析】由向量的减法法则，将题中等式化简得 ，进而得到 ，由此可得以 为邻边的平行四边形为矩形，得 的形状是直角三角形。 【详解】 AB BCλ≠  BC CDλ≠  ( 5 ) ( 2 8 ) 13AC AB BC a b a b a b CDλ= + = + + − + = − + ≠    ( ) sin 3 cos ( )f x x x x R= + ∈ ( )y f x φ= + 0x = ϕ 2 π 6 π 3 π 4 π ( ) sin 3cos 2sin 3f x x x x π = + = +  ， ( ) 2sin φ 3y f x x πφ  = + = + +   0x = ( )0 2sin φ 23f π = + = ±   φ ,3 2 k k Z π π π+ = + ∈ φ ,6 k k Z π π= + ∈ 0k = 6 πϕ = O ABC∆ 2OB OC OB OC OA− = + −     ABC∆ CB AB AC= +   | | | |AB AC AB AC− = +    ,AB AC ABC∆ 因为 ， ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 由此可得以 为邻边的平行四边形为矩形，所以 ，得 的形状 是直角三角形。 【点睛】 本题给出向量等式，判断三角形 的形状，着重考查平面向量的加法、减法法则和 三角形的形状判断等知识。 12．已知函数 在一个周期内的函数图像 如图所示。若方程 在区间 有两个不同的实数解 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 或 【答案】D 【解析】根据图像，求得函数的对称轴，由对称性可求得 的值。 【详解】 由图像可知，函数 关于 或 所以 或 所以选 D CB OB OC= −   AB OB OA= −   | | | 2 |OB OC OB OC OA− = + −     | | | |CB AB AC= +   CB AB AC= −   | | | |AB AC AB AC− = +    ,AB AC 2BAC π∠ = ABC∆ ABC ( )( ) sinf x A xω ϕ= + 0, 0,| | 2A πϕ ϕ > > <   ( )f x m= [0, ]π 1x 2x 1 2x x+ = 3 π 2 3 π 4 3 π 3 π 4 3 π 1 2x x+ ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 6x π= 2 3 π 1 2 3x x π+ = 1 2 4 3x x π+ = 【点睛】 本题考查了三角函数图像对称轴性质的简单应用，属于基础题。 二、填空题 13． __________ 【答案】 【解析】由题意利用诱导公式求解三角函数值即可. 【详解】 由题意可得： . 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查诱导公式及其应用，属于基础题. 14．已知 ， ， ，则 __________ 【答案】 【解析】由题意结合向量的运算法则和平行四边形的性质即可确定 的值. 【详解】 由题意结合平行四边形的性质有： ， 即： ，据此可得： . 【点睛】 本题主要考查向量的模的运算法则，平行四边形的性质及其应用等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. 15． __________ 【答案】 【解析】由题意结合诱导公式和两角和差正余弦公式可得三角函数式的值. 【详解】 tan570° = 3 3 ( ) 3tan570 tan 180 3 30 tan30 3 ° ° ° °= × + = = 3 3 3a = 2b = 2 25 (2 5)− a b− =  10 a b−  ( )2 2 2 22 | | | |a b a b a b+ + − = +     ( )22 2 24 2 3 2a b+ − = + 10a b− = cos70 cos335 sin110 sin 25° °+ ° ° 2 2 由题意可得： 原式 . 【点睛】 本题主要考查诱导公式的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 16．（2011•南昌校级模拟）关于函数 f（x）=4sin（2x+ ）（x∈R），有下列命题： ①y=f（x）的表达式可改写为 y=4cos（2x﹣ ）； ②y=f（x）是以 2π 为最小正周期的周期函数； ③y=f（x）的图象关于点 对称； ④y=f（x）的图象关于直线 x=﹣ 对称． 其中正确的命题的序号是 ． 【答案】①③ 【解析】试题分析：先根据诱导公式可判断①，再由最小正周期的求法可判断②，最 后根据正弦函数的对称性可判断③和④，得到答案． 解：∵f （x）=4sin（2x+ ）=4cos（ ）=4cos（﹣2x+ ）=4cos （2x﹣ ），故①正确； ∵T= ，故②不正确； 令 x=﹣ 代入 f （x）=4sin（2x+ ）得到 f（﹣ ）=4sin（ + ）=0，故 y="f" （x）的图象关于点 对称，③正确④不正确； 故答案为：①③． 【考点】函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法． 三、解答题 17．已知 .求 （1） 的值； （2） 的值。 【答案】（1） （2） cos70 cos25 sin 70 sin 25° ° ° °= + ( ) 2cos 70 25 cos45 2 ° ° °= − = = tan 2α = tan 4 πα +   4sin 3cos( ) sin( ) cos( ) α π α π α α + − + + − 3− 5− 【解析】(1)由题意利用两角和的正切公式可得三角函数式的值； (2)由题意利用诱导公式和同角三角函数基本关系求解一次齐次三角函数式的值即可. 【详解】 （1） . （2） . 【点睛】 本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学 生的转化能力和计算求解能力. 18．已知 ， ， 是在同一平面内的三个向量，其中 ． （1）若 ，且 ，求 坐标； （2）若 ，且 ，求 与 的夹角 ． 【答案】(1) c=(2,4)或（-2，-4）;(2) . 【解析】(1)由题意设出向量 的坐标，结合题意解方程即可确定向量的坐标表示； (2)首先利用向量垂直的充分必要条件确定向量的数量积，然后利用夹角公式可得向量 与 的夹角. 【详解】 （1） ，设 ，则 ， 又 ， ，解得 ， ，或 ． （2）平面内向量夹角的 的取值范围是 ， ， 又 ， ， 解得 4tan πα + =   4 1 4 tan tan tan tan πα πα + − 2 1 31 2 += = −− ( ) ( ) ( ) 4 3sin cos sin cos α π α π α α + − + + − 4 3 4 3 4 2 3 1 2 1 sin cos tan sin cos tan α α α α α α − − × −= = =− + − + − + 5= − a b c (1,2)a = 2 5c = c a   c 5 2b = ( 2 ) (2 )a b a b+ ⊥ −    a b θ θ π= c a b / /c a   c a λ= ( ),2c λ λ= 2 5c = 2 24 20λ λ∴ + = 2λ = ± ( )2,4c∴ = ( )2, 4− − θ [ ]0,θ π∈ ( ) ( )2 2a b a b+ ⊥ −    ( ) ( )2 2 0a b a b  ∴ + ⋅ − = 5a =  5 2b = ( )2 2 5 3∴ × + 22 0a b b⋅ − =  5 2a b⋅ = − ， 与 的夹角为 . 【点睛】 本题主要考查共线向量的应用，向量的运算法则，向量夹角的求解等知识，意在考查学 生的转化能力和计算求解能力. 19．已知函数 . （1）求 的最小正周期； （2）当 时，求 的最小值以及取得最小值是 的值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】（1）利用倍角公式化简整理函数 的表达式，由周期 。 （2）先求解 ，由正弦函数图像求解最值。 【详解】 ： (1)最小正周期为 (2)由 得 ，所以当 的最 小值为 . 取最小值时 的集合为 【点睛】 ：三角函数 在闭区间内 上的最值问题的步骤： （1）换元，令 ，其中 （2）画出三角函数 的函数图像。 a bcos a b   θ ⋅∴ = ⋅ 5 2 1 55 2 − = = − × a∴  b 180θ = ° 4 4( ) cos 2sin cos sinf x x x x x= − − ( )f x 0, 2x π ∈   ( )f x x π ( )f x 2T π ω= 52 ,4 4 4x π π π + ∈   ( ) ( )( )4 4 2 2 2 2cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cosf x x x x x x x x x x x= − − = + − − cos2 sin2 2cos 2 4x x x π = − = +   π 0, 2x π ∈   52 ,4 4 4x π π π + ∈   32 , ,4 8x x π ππ+ = =即 时 ( )f x 2− ( )f x x 3 .8 π    ( )y Asin φxω= + [ ]a,b t φxω= + [ ]1 2t t t∈ ， y Asint= （3）由图像得出最值。 20．已知函数 ，且 . （1）求 的值； （2）若 ， 是第二象限角，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】(1)由题意利用 结合函数的解析式即可确定 A 的值； (2)由题意结合同角三角函数基本关系和两角和差正余弦公式可得 的值. 【详解】 （1）依题意得： ， . （2）由（1）得 由 可得： ， ， 是第二象限角， ， ， 又 ， 是第三象限角， . 【点睛】 ( ) sin ( )4f x A x x R π = + ∈   ( )0 1f = A 1( ) 5f α = − α cosα 2A = 4 5 − ( )0 1f = cosα ( ) 20 14 2f Asin A π = = =   2A∴ = ( ) 2 4f x sin x π = +   ( ) 1 5f α = − ( ) 12 4 5f sin πα α = + = −   2 4 10sin πα ∴ + = −   α 2 22k k ππ α π π∴ + < < + 3 52 24 4 4k k π π ππ α π∴ + < + < + 2 04 10sin πα + = − <   4 πα∴ + 214 4cos sin π πα α   ∴ + = − − +       7 2 10 = − 4 4cos cos π πα α  ∴ = + −     4 4cos cos π πα = + +   4 4sin sin π πα +   7 2 2 2 10 2 10 = − × − 2 4 2 5 × = − 本题主要考查三角函数的运算，两角和差正余弦公式的应用，同角三角函数基本关系的 应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21．已知函数关系式： 的部分图象 如图所示： （1）求 ， ， 的值； （2）设函数 ，求 在 上的单调递减区间。 【答案】(1) . (2) . 【解析】分析：（1）根据函数图像最高点可确定 A 值，根据已知水平距离可计算周期， 从而得出 ，然后代入图像上的点到原函数可求得 即可；（2）先根据（1）得出 g （x）表达式 ，然后根据正弦函数图像求出单调递减区间，再结 合所给范围确定单调递减区间即可. 详解： (1)由图形易得 ， ，解得 ， 此时 ． 因为 的图象过 ， 所以 ，得 ． 因为 ，所以 ， 所以 ，得 ． ( ) sin( )f x A tω ϕ= + 0, 0, 2 2A π πω ϕ > > − < <   A ω ϕ ( ) ( ) 4g x f x f x π = +   ( )g x 0, 2 π     4, 2, 6A πω ϕ= = = 7[ , ]24 24 π π ω ϕ ( ) 8sin 4 3g x x π = +   4A = 2 54 12 6 π π π ω  = × −   2ω = ( ) ( )4sin 2f x x ϕ= + ( )f x ,46 π     46f π  =   sin 13 π ϕ + =   2 2 π πϕ− < < 5 6 3 6 π π πϕ− < + < 3 2 π πϕ + = 6 πϕ = 综上 ， ， ． (2)由(1)得 ． 由 ，解得 ，其中 ． 取 ，得 ， 所以 在 上的单调递减区间为 ． 点睛：考查三角函数的图像和基本性质，对三角函数各个变量的作用和求法的熟悉是解 题关键，属于基础题. 22．已知向量 ， ，若函数 ，则 (Ⅰ)求函数 的最小正周期； (Ⅱ)将函数 的图象上所有的点向左平移 个单位，得到函数 的图象，若 函数 在 上有两个不同的零点，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）函数 的最小正周期为 （Ⅱ） 【解析】(Ⅰ)整理函数的解析式为 的形式，由函数的解析式即可 确定函数的最小正周期； (Ⅱ)将原问题转化为函数有两个交点的问题，结合三角函数的图像即可确定实数 的取 值范围. 【详解】 （Ⅰ） 函数 . . 函数 的最小正周期为 ． 4A = 2ω = 6 πϕ = ( ) 4sin 2 4sin 26 4 6g x x x π π π    = + ⋅ + +         16sin 2 cos 26 6x x π π   = + +       8sin 4 3x π = +   32 4 22 3 2k x k π π ππ π+ + +  7 24 2 24 2 k kx π π π π+ +  k Z∈ 0k = 7 24 24x π π   ( )g x 0, 2x π ∈   7,24 24 π π     ( )2, 2a = sin ,cos4 4b x x π π =     ( )f x a b= ⋅  ( )f x ( )f x 1 ( )y g x= ( )y g x k= + ( )2,4− k ( )f x 8 2 0k− < < ( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ k  ( )f x a b= ⋅  ∴ ( ) 2 4f x sin x π= 2 4cos x π+ 2 22 22 4 2 4 4 4sin x cos x sin x π π π π   = + = +        2 8 4 T π π∴ = = ∴ ( )f x 8 （Ⅱ）依题意将函数 的图像向左平移 个单位后得到函数 函数 在 上有两个零点，即函数 与 在 有两个交点，如图所示： 所以 ，即 ， 所以实数 取值范围为 . 【点睛】 本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的最小正周期公式，数形结合的数学思想等 知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. ( )f x 1 ( ) 2y g x sin= = ( )14 4x π π + +   2 4cos x π= ( )y g x k= + ( )2,4− ( )y g x= y k= − ( )2,4x∈ − 0 2k< − < 2 0k− < < k 2 0k− < <