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- 2021-02-27 发布
课时作业(五十三)A [第53讲 直线与圆锥曲线的位置关系]
[时间：45分钟 分值：100分]
1．过点P(－1,0)的直线l与抛物线y2＝5x相切，则直线l的斜率为( )
A．± B．± C．± D．±
2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则双曲线的离心率是( )
A. B．2 C. D.
4．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是________．
5．直线y＝x＋m与抛物线x2＝2y相切，则m＝( )
A．－ B．－ C．－ D.
6．“≤a”是“曲线Ax＋By＋C＝0与＋＝1(a>b>0)有公共点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．抛物线x2＝16y的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积是( )
A．16 B．8 C．4 D．2
8．椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为( )
A. B.－1 C. D.－1
9． 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A．2 B．2 C．4 D．4
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点(p,0)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与抛物线交于P、Q两点，l2与抛物线交于M、N两点，l1的斜率为k，某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为，则弦MN的中点坐标为________．
11．若直线y＝(a＋1)x－1与y2＝ax恰有一个公共点，则a＝________.
12． 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________________．
13． 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝________.
14．(10分) 已知动圆P过点F且与直线y＝－相切．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作一条直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C在A，B两点处的切线相交于点N，M为线段AB的中点，求证：MN⊥x轴．
15．(13分) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4.
(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆焦点坐标；
(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当kPM·kPN＝－时，求椭圆的方程．
16．(12分)已知圆C1的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝，椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程．
课时作业(五十三)A
【基础热身】
1．C [解析] 显然斜率存在不为0，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入抛物线方程消去x得ky2－5y＋5k＝0，由Δ＝(－5)2－4×5k2＝0，得k＝±.故选C.
2．A [解析] 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选A.
3．C [解析] 设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′＝2x0，依题意有＝2x0.又y0＝x＋1，解得x0＝±1，所以＝2x0＝2，b＝2a，所以e＝＝.故选C.
4．m<且m≠0 [解析] 首先m≠0，m≠1，根据已知，m2<(m－1)2，即m2－(m2－2m＋1)<0，
解得m<.所以实数m的取值范围是m<且m≠0.
【能力提升】
5．A [解析] 将直线方程代入抛物线方程，得x2－2x－2m＝0，由Δ＝4＋8m＝0，得m＝－.故选A.
6．B [解析] 如果两曲线有公共点，可得椭圆中心到直线的距离d＝≤a；反之不一定成立．故选B.
7．A [解析] 抛物线的准线为y＝－4，双曲线的两条渐近线为y＝±x，这两条直线与y＝－4的交点是A(－4，－4)，B(4，－4)，故围成三角形的面积为
S＝|AB|×4＝×8×4＝16.故选A.
8．D [解析] 依题意直线y＝2x与椭圆的一个交点坐标为(c,2c)，所以＋＝1，消去b整理得a2－2ac－c2＝0，所以e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±.又e∈(0,1)，所以e＝－1.故选D.
9．B [解析] 双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－＝－2，即p＝4.又∵＋a＝4，∴a＝2，将(－2，－1)代入y＝x得b＝1，
∴c＝＝＝，∴2c＝2.
10．(k2p＋p，－kp) [解析] 因为两直线互相垂直，所以直线l2的斜率为－，只需将弦PQ中点坐标中的k替换为－，就可以得到弦MN的中点坐标，于是得弦MN的中点坐标为(k2p＋p，－kp)．
11．0或－1或－ [解析] 由得(a＋1)y2－ay－a＝0.当a≠－1时，令Δ＝a2＋4a(a＋1)＝0，解得a＝0或a＝－；当a＝－1时，方程仅有一个根y＝－1，符合要求．所以a＝0或－1或－.
12.－＝1 [解析] 椭圆方程为＋＝1，则c2＝a2－b2＝7，即c＝，又双曲线离心率为椭圆离心率的2倍，所以双曲线的离心率为e＝，又c＝，所以a＝2，所以b2＝c2－a2＝7－4＝3，所以双曲线方程为－＝1.
13．2 [解析] 抛物线的准线方程为x＝－，过点M的直线方程为y＝(x－1)，所以交点A.因为＝，所以点M是线段AB的中点，由中点公式得B.又点B在抛物线上，于是32＝2p×，即p2＋4p－12＝0，解得p＝－6(舍去)或p＝2.
14．[解答] (1)由已知，点P到点F的距离等于到直线y＝－的距离，根据抛物线的定义，可得动圆圆心P的轨迹C为抛物线，其方程为x2＝y.
(2)证明：设A(x1，x)，B(x2，x)．
∵y＝x2，∴y′＝2x，
∴AN，BN的斜率分别为2x1,2x2，
故AN的方程为y－x＝2x1(x－x1)，
BN的方程为y－x＝2x2(x－x2)，
即
两式相减，得xN＝.
又xM＝，
所以M，N的横坐标相等，于是MN⊥x轴．
15．[解答] (1)由b＝得b＝，
∴又2a＝4，a＝2，a2＝4，b2＝2，
c2＝a2－b2＝2，
∴两个焦点坐标为(，0)，(－，0)．
(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
不妨设：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，
M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，故有＋＝1，＋＝1，两式相减得：＝－.
由题意它们的斜率存在，则kPM＝，kPN＝，
kPM·kPN＝·＝＝－，
则－＝－，由a＝2得b＝1，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
【难点突破】
16．[解答] 由e＝，得＝，得a2＝2c2，b2＝c2.
设椭圆C2方程为＋＝1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由圆心为(2,1)，得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又＋＝1，＋＝1，
两式相减，得＋＝0.
所以＝－＝－1，
所以直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋y－3＝0.
将上述方程代入＋＝1，
得3x2－12x＋18－2b2＝0，(*)
又直线AB与椭圆C2相交，所以Δ＝24b2－72>0.
且x1，x2是方程(*)的两根，
所以x1＋x2＝4，x1x2＝6－.
由|AB|＝|x1－x2|＝
＝2×，
得×＝2×.
解得b2＝8，故所求椭圆方程为＋＝1.