- 313.50 KB
- 2021-02-27 发布
2017-2018学年湖北省黄冈市黄梅二中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，本题满分60分）
1．（5分）命题“∃x0∈R，”的否定是（ ）
A．∀x∈R， B．∃x0∈R，
C．∃x0∈R， D．∀x∈R，
2．（5分）下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C．“若a≠0或b≠0，则ab≠0”的否命题为：若a=0且b=0，则ab=0
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
3．（5分）“a=1”是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
5．（5分）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣2）2=4 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=4 C．（x﹣2）2+（y﹣2）2=2 D．（x﹣2）2+（y﹣3）2=2
6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点与抛物线y=x2的焦点重合，则实数a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）我们把由半椭圆+=1（x＞0）与半椭圆+=1（x＜0）合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是腰长为1的等腰直角三角形，则a，b的值分别为（ ）
A．5，4 B． C． D．
9．（5分）P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（ ）
A．[﹣1﹣，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣1﹣，﹣1） D．（﹣∞，﹣﹣1）
10．（5分）已知经过椭圆+y2=1的焦点且与其对称轴成45°的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆 （x﹣5）2+y2=9相切于点M，且M为线段AB中点，则这样的直线l有（ ）条．
A．2 B．3 C．4 D．无数条
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知圆O：x2+y2=9上到直线l：a（x+4）+by=0（a，b是实数）的距 离为1的点有且仅有2个，则直线l斜率的取值范围是 ．
14．（5分）已知正三角形ABC，若M，N分别是AB，AC的中点，则以B，C为焦点，且过M，N的椭圆与双曲线的离心率之积为 ．
15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 ．
16．（5分）已知F1，F2为椭圆+=1（3＞b＞0）的左右两个焦点，若存在过焦点F1，F2的圆与直线x+y+2=0相切，则椭圆离心率的最大值为 ．
三、解答题
17．（10分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
20．（12分）如图，M、N是焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上两个不同的点，且线段MN中点A的横坐标为，
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）若p=2，直线MN与x轴交于点B点，求点B横坐标的取值范围．
21．（12分）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的坐标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
22．（12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．
（1）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（2）当m=﹣时，过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合） 试问：直线MQ与x轴的交点是否为定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由．
2017-2018学年湖北省黄冈市黄梅二中高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12个小题，每小题5分，本题满分60分）
1．（5分）命题“∃x0∈R，”的否定是（ ）
A．∀x∈R， B．∃x0∈R，
C．∃x0∈R， D．∀x∈R，
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题的否定．
【解答】解：∵命题：“∃x0∈R，”是特称命题，
∴特称命题的否定是全称命题得“∃x0∈R，”的否定是：“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”．
故选：A．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．
2．（5分）下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C．“若a≠0或b≠0，则ab≠0”的否命题为：若a=0且b=0，则ab=0
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
【分析】A，根据命题否定的定义判定；
B，根据充要条件的定义判定；
C，根据“或”的否定可以判定；
D，根据符合命题的真值表判定．
【解答】解：对于A，命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，真命题；
对于B，∵“x2﹣3x+2=0”⇒“x=1或x=2”，∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，是真命题；
对于C，根据“或”的否定为“且”，可判定“若a≠0或b≠0，则ab≠0”的否命题为：若a=0且b=0，则ab=0，是真命题；
对于D，若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，是假命题．
故选：D
【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到充要条件、命题的否定，属于中档题．
3．（5分）“a=1”是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先由二元二次方程表示圆的条件得到a的不等式，解不等式即可得方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆的充要条件，再看条件：“a=1”与此充要条件的关系，即可得到结果．
【解答】解：方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示一个圆，
则（﹣2）2+22﹣4a＞0，
∴a＜2，
又a=1⇒a＜2，反之不成立，
∴a=1是方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆的充分不必要条件
故选：A．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件、必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基础知识的考查，本题解题的关键是看清楚所表示的二元二次方程的各个系数之间的关系．
4．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即 （x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，
故弦心距d==．
再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
5．（5分）与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣2）2=4 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2=4 C．（x﹣2）2+（y﹣2）2=2 D．（x﹣2）2+（y﹣3）2=2
【分析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程．
【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2=18，
其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为d==5．
所求的最小圆的圆心在直线y=x上，
其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．
标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．
故选：C．
【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查转化的数学思想，是中档题．
6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点与抛物线y=x2的焦点重合，则实数a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】将抛物线y=x2转化成x2=16y，求得抛物线的焦点坐标，求得c，由双曲线的性质可知：a2=c2﹣b2，即可求得a的值．
【解答】解：将抛物线y=x2转化成x2=16y，
∴抛物线的焦点坐标为（0，4），
双曲线﹣=1（a＞0）的一个焦点与抛物线的焦点重合，
即c=4，
由c2=a2+b2，
∴a2=9，
∴a=3，
故答案选：C．
【点评】本题考查抛物线的标准方程及双曲线的简单几何性质，要注意抛物线及双曲线的焦点位置，属于知识的简单运用，属于基础题．
7．（5分）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意知c==，点（1，2）在y=x上，由此能求出双曲线的方程．
【解答】解：∵双曲线的左右焦点分别为F1，F2，
以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），
∴由题意知c==，
∴a2+b2=5，①
又点（1，2）在y=x上，∴，②
由①②解得a=1，b=2，
∴双曲线的方程为=1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．
8．（5分）我们把由半椭圆+=1（x＞0）与半椭圆+=1（x＜0）合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是腰长为1的等腰直角三角形，则a，b的值分别为（ ）
A．5，4 B． C． D．
【分析】先求出|F0F2|==b=1，|F1F2|=2=1，由此利用椭圆的性质能求出结果a，b．
【解答】解：∵点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，
△F0F1F2是腰长为1的等腰直角三角形，
∴F0（c，0），F1（0，﹣），F2（0，），
∴|F0F2|==b=1，|F1F2|=2=1，
∴c2=，a2=b2+c2=．
∴a=，b=1．
故选：B．
【点评】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式、椭圆性质的合理运用．
9．（5分）P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（ ）
A．[﹣1﹣，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．（﹣1﹣，﹣1） D．（﹣∞，﹣﹣1）
【分析】设出圆的参数方程为x=cosα，y=sinα+1，代入x+y+c≥0中解出c大于等于一个式子，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域求出这个式子的最大值，令c大于等于这个最大值，即可求出c的范围．
【解答】解：设圆上任一点P的坐标为（cosα，sinα+1），即x=cosα，y=sinα+1，
则x+y+c=cosα+sinα+1+c=[cosα+sinα]+1+c
=sin（）+1+c≥0，即c≥﹣1﹣sin（），
又因为﹣1≤sin（）≤1，
所以得到：﹣1﹣≤﹣1﹣sin（）≤﹣1+，则c≥﹣1+．
故选B
【点评】此题考查学生掌握圆的参数方程及不等式恒成立时所满足的条件，灵活运用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．本题的突破点是将圆的方程化为参数方程．
10．（5分）已知经过椭圆+y2=1的焦点且与其对称轴成45°的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由椭圆方程求出其焦点坐标，再由已知求出直线斜率，得到直线方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，再由弦长公式得答案．
【解答】解：由椭圆+y2=1，得a2=5，b2=1，
∴c=，则椭圆焦点F1（﹣2，0），F2（2，0），
不妨设直线经过F2（2，0），
又直线l与椭圆对称轴成45°的角，可知其斜率为1，
则直线方程为y=x﹣2，
联立，得6x2﹣20x+15=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
∴|AB|=
=．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题，考查计算能力，属于中档题．
11．（5分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．
【解答】解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，
从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．
过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2﹣1最小，
∵F（1，0），则|PF|+d2==，
则d1+d2的最小值为．
故选D．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用．解此列题设和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．
12．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆 （x﹣5）2+y2=9相切于点M，且M为线段AB中点，则这样的直线l有（ ）条．
A．2 B．3 C．4 D．无数条
【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，直线与圆有两个交点，直线l有两条；斜率不存在时，直线l有2条，即可得出结论．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，
相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），
当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，
因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，
即M的轨迹是直线x=3．
圆心（5，0）到直线的距离为2＜3，直线与圆有两个交点，直线l有两条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，
故选：C．
【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知圆O：x2+y2=9上到直线l：a（x+4）+by=0（a，b是实数）的距 离为1的点有且仅有2个，则直线l斜率的取值范围是 ．
【分析】由题意，圆心到直线的距离大于2，则＞2，即可求出直线l斜率的取值范围．
【解答】解：由题意，圆心到直线的距离大于2，则＞2，
解得﹣∈．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生解不等式的能力，属于中档题．
14．（5分）已知正三角形ABC，若M，N分别是AB，AC的中点，则以B，C为焦点，且过M，N的椭圆与双曲线的离心率之积为 2 ．
【分析】首先设三角形的边长为4，并以BC为横轴，BC的中垂线为纵轴建立坐标系，进而写出A、B、C、M、N的坐标，然后根据椭圆和双曲线的定义得出离心率的值，即可求出结果．
【解答】解：以BC为横轴，BC的中垂线为纵轴，设B（﹣2，0）C（2，0）
则A（0，2），M（﹣1，），N（1，），c=2，
∵椭圆与双曲线均过M，N，
∴2a1=BM+CM=2（+1），2a2=BM﹣CN=2（﹣1），
∴a1=+1，a2=﹣1
∴e1==，e2==，
∴e1•e2=•=2
故答案为：2．
【点评】本题考查了椭圆双曲线的定义以及性质，对于选择题与填空题可以采取灵活多样的方法作答，其中取特殊值法是常用方法．
15．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 ．
【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣，即可求出椭圆C的离心率．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，
∵M是线段AB的中点，
∴=1，=1，
∵直线AB的方程是y=﹣（x﹣1）+1，
∴y1﹣y2=﹣（x1﹣x2），
∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，
∴①②两式相减可得，即，
∴a=b，
∴=b，
∴e==．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键．
16．（5分）已知F1，F2为椭圆+=1（3＞b＞0）的左右两个焦点，若存在过焦点F1，F2的圆与直线x+y+2=0相切，则椭圆离心率的最大值为 ．
【分析】通过题意可过焦点F1，F2的圆的方程为：x2+（y﹣m）2=m2+c2，利用该圆与直线x+y+2=0相切、二次函数的性质及离心率公式，计算即得结论．
【解答】解：由题可知过焦点F1，F2的圆的圆心在y轴上，
设方程为：x2+（y﹣m）2=m2+c2，
∵过焦点F1，F2的圆与直线x+y+2=0相切，
∴d=r，即=，
解得：c2=﹣+2m+2，
∴当c最大时e最大，
而﹣+2m+2=﹣（m﹣2）2+4≤4，
∴c的最大值为2，
∴e的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查求椭圆的离心率、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
三、解答题
17．（10分）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围．
【解答】解：由||=，
得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，
∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，
由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，
即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），
∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），
∵￢p是￢q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
即，且等号不能同时取，
∴，解得m≥9．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件是解决本题的关键．
18．（12分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．
【分析】（1）若命题p为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；
（2）根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可．
【解答】解：（1）∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，
∴，即，
即﹣1＜m＜1，
∴若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（﹣1，1）；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
则p，q为一个真命题，一个假命题，
若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，
则判别式△=4m2﹣4（2m+3）＜0，
即m2﹣2m﹣3＜0，得﹣1＜m＜3．
若p真q假，则，此时无解，
柔p假q真，则，得1≤m＜3，
综上，实数m的取值范围是[1，3）．
【点评】
本题主要考查复合命题的真假关系以及应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．
19．（12分）已知圆M过C（1，﹣1），D（﹣1，1）两点，且圆心M在x+y﹣2=0上．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
【分析】（1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，﹣1）、D（﹣1，1）且圆心M在直线x+y﹣2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；
（2）四边形PAMB的面积为S=2，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．
【解答】解：（1）设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），
根据题意得，解得：a=b=1，r=2，
故所求圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4；
（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|2=|PM|2﹣|AM|2=|PM|2﹣4，
即S=2．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min==3，所以四边形PAMB面积的最小值为2=2．
【点评】本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（12分）如图，M、N是焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上两个不同的点，且线段MN中点A的横坐标为，
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）若p=2，直线MN与x轴交于点B点，求点B横坐标的取值范围．
【分析】（1）利用抛物线的定义，求|MF|+|NF|的值；
（2）分类讨论，利用差法，即可求点B横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8﹣p，|MF|=x1+，|NF|=x2+，
∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8；
（2）p=2时，y2=4x，
若直线MN斜率不存在，则B（3，0）；
若直线MN斜率存在，设A（3，t）（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则
代入利用点差法，可得y12﹣y22=4（x1﹣x2）
∴kMN=，
∴直线MN的方程为y﹣t=（x﹣3），
∴B的横坐标为x=3﹣，
直线MN代入y2=4x，可得y2﹣2ty+2t2﹣12=0
△＞0可得0＜t2＜12，
∴x=3﹣∈（﹣3，3），
∴点B横坐标的取值范围是（﹣3，3）．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（12分）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的坐标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出椭圆的a，b，c，P是第一象限内该椭圆上的一点设为（x，y），利用，以及P在椭圆上，求点P的坐标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆联立，注意到交于不同的两点A、B，△＞0且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），就是利用韦达定理，代入化简，求直线l的斜率k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．
∴，．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．
则，又，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立
∴，
由△=（16k）2﹣4•（1+4k2）•12＞016k2﹣3（1+4k2）＞0，4k2﹣3＞0，得．①
又∠AOB为锐角，
∴
又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4
∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4
=
=
=
∴．②
综①②可知，
∴k的取值范围是．
【点评】本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
22．（12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．
（1）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（2）当m=﹣时，过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合） 试问：直线MQ与x轴的交点是否为定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由．
【分析】（1）设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程，然后分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（2）把m=﹣代入E得轨迹方程，由题意设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M，N两点的横坐标的和与积，由两点式写出直线MQ的方程，取y=0后求出x，结合根与系数关系可求得x=2，则得到直线MQ与x轴的交点是定点，并求出定点．
【解答】解：（1）设点C（x，y），由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），
得：，化简得：﹣mx2+y2=1（x≠0）．
当m＜﹣1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，﹣1）两点；
当m=﹣1时，轨迹E表示以（0，0）为圆心，半径是1的圆，且除去（0，1），（0，﹣1）两点；
当﹣1＜m＜0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，﹣1）两点；
当m＞0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去（0，1），（0，﹣1）两点．
（2）当m=﹣时，曲线E的方程为．
由题意可知直线l的斜率存在切不等于0，则可设l：y=k（x﹣1），
再设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x2，﹣y2） （x1≠x2）．
联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．
∴，
∵M，Q不重合，则x1≠x2，y1≠﹣y2．
∴MQ所在直线方程为，
令y=0，得=
=．
∴直线MQ过定点（2，0）．
【点评】本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了分类讨论的数学思想方法，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用一元二次方程的根与系数关系求解，从而简化解题过程，此类问题是高考试题中的压轴题．