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- 2021-02-26 发布
会宁一中2020届高三级第四次月考
数学（文科）试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3．考试结束后，只将答题卡上交.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义，可得A，B，D是偶函数，再利用函数单调性的性质，即可得出结论．
【详解】根据偶函数的定义，可得A，B，D是偶函数，B在上单调递减，D在上有增有减，A在上单调递增，
故选A．
【点睛】本题考查函数单调性的性质，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
2.已知复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
设，则由已知有，所以，解得
，所以，故，选A.
3.已知向量，若，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．
【详解】；
∵；
∴；
解得．
故选B.
【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．
4.设，是两条直线，，是两个平面，则“”的一个充分条件是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，可画出错误选项的反例，结合图象，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，如图所示，若，则直线可能是平行的，所以A项不正确；
若，则直线可能是平行的，所以B项不正确；
若，则直线可能是平行的，所以D项不正确；
若，则直线是成立.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了充分条件的应用，以及线面垂直、平行的性质，面面垂直、平行的性质的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定和性质定理，以及合理举反例求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
5.已知双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出椭圆的焦点和，所以双曲线方程可设为，所以其渐近线方程为，由题意得双曲线的，再根据其离心率，求出，根据，得到，从而得到双曲线的渐近线方程，求出答案.
【详解】因为椭圆，其焦点为和，
因为双曲线与椭圆有相同的焦点，
所以设双曲线的方程为，则其渐近线方程为，
且双曲线中
因为双曲线的离心率，所以，
又因双曲线中
所以，即，
所以双曲线的渐近线方程为
故选C项.
【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求，双曲线的渐近线，属于简单题.
6.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出在点处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出的值.
【详解】由题意，，，则曲线在点处的切线斜率为4，由于切线与直线垂直，则，解得.
故选C.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.
7.如图，三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面平面，，，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目所给数据，得出，，通过证明线面垂直，可得，即是直角三角形的斜边，从而得到就是三棱锥外接球的直径，根据长度可以求出球的表面积.
【详解】由条件知，
因为平面平面，且交线为，
∴平面，
∴ ，，
∴平面，
∴，
所以球的直径为，
所以，
故选A．
【点睛】本题考查球的表面积，通过发现直角三角形有公共的斜边，从而得到外接球的直径是关键，是中档题.
8.在中，分别是角的对边,若,且，则的值为( )
A. 2 B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理，化简求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案．
【详解】在中，因为,且，
由正弦定理得，
因为，则，
所以，即，解得，
由余弦定理得，
即，解得，故选A．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
9.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的周期为 B. 函数为偶函数
C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称
【答案】C
【解析】
【分析】
观察图象由最值求，然后由函数所过的点，求出 ，可求函数的解析式，进而研究函数性质即可得出结论．
【详解】观察图象可得，函数的最小值，所以，
又由图像可知函数过，
即 结合可得，则 ，显然A选项错误；对于B，， 不是偶函数，B错；
对于D ，当， 故D错误，
由此可知选C.
【点睛】点睛：本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．
10.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. 1＋ D. 1＋
【答案】C
【解析】
由题意可设两曲线的交点为在双曲线上，即
，选C.
【此处有视频，请去附件查看】
11.设，分别是正方体的棱上两点，且，，给出下列四个命题:
①三棱锥的体积为定值;
②异面直线与所成的角为;
③平面;
④直线与平面所成角为.
其中正确的命题为（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥的体积为定值；
②根据，转化为与所成的角；
③利用反正法判与平面不垂直；
④平面即为平面,故直线与平面所成的角是为．
【详解】解：如图所示，三棱锥的体积为为定值，①正确；
，是异面直线与所成的角为，②正确；
若平面，则，而故,而与所成角为，③错误；
平面即为平面,故直线与平面所成的角是为，④错误．
综上，正确的命题序号是①②．
故选：．
【点睛】本题考查了空间中的线线，线面的位置关系和体积应用问题，是基础题．
12.若均为任意实数，且，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.
【详解】由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，
故选D.
【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分
13.在数列中，，为的前n项和． 若，则_______．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据等差数列的定义可知数列为等差数列，再利用等差数列的前n项和公式与通项公式求解即可.
【详解】在数列中，，可知数列是公差为1的等差数列，
故 ，解得 ，
故
故填：4
【点睛】本题考查了根据定义判断等差数列，考查了等差数列的基本量运算，涉及了等差数列的前n项和公式与通项公式.
14.若实数x，y满足条件，则的最大值为_____________.
【答案】18
【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，
最大值为：.
故答案 18．
15.若圆：的圆心为椭圆：的一个焦点，且圆经过的另一个焦点，则____．
【答案】8
【解析】
16.设函数，. 若存在两个零点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
,若存在两个零点，即a,和g(x)有两个不同的交点即可，画出图象，使得两个函数图像有2个交点，找到两个临界即可.
【详解】
,若存在两个零点，即a,和g(x)有两个不同的交点即可，其中一个临界是过点（1，0）代入得到a=2,且能取到，另一个临界是过点（1，2），代入得到a=-4.故范围是.
故答案为．
【点睛】函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：
(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；
(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）5或.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出
，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出.
【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.
（1）∵，结合得，
∴.
（2）∵，解得或3，
当时，，此时；
当时，，此时.
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.
18.已知圆C经过点，且与直线相切， 圆心C直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）过原点的直线截圆C所得的弦长为2，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）先由题意，设，半径为（），得到圆C的方程为；根据题意，得到，解方程组，即可求出结果；
（2）分别讨论直线的斜率不存在，直线的斜率存在两种情况，根据弦长公式，以及题中条件，即可求出结果.
【详解】（1）因为圆心C在直线上，所以可设，半径为（），
则圆C的方程为；
又圆C经过点，且与直线相切，
所以，解得，
所以圆C的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，
此时直线截圆C所得的弦长，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则圆心到直线的距离为，
又直线截圆C所得的弦长为2，
所以有，即，解得；
此时直线方程为：；
故所求直线方程为：或.
【点睛】本题主要考查求圆的方程，以及由圆的弦长求直线方程的问题，熟记待定系数法求圆的标准方程，以及几何法表示弦长即可，属于常考题型.
19.四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形．
（1）点为棱上一点，若平面，，求实数的值；
（2）若，求点到平面的距离．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）本题首先可以通过证出，再通过得知四边形为平行四边形，最后通过得出结果；
（2）本题可以通过等面积法来求出点到平面的距离，即作直线于点，然后通过来求出结果．
【详解】(1)因为平面，平面，平面平面，
所以，
因为，所以四边形为平行四边形，
又，所以为的中点．
因为，所以．
（2）因为，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面，
平面平面，
如图，在平面内过点作直线于点，则平面，
在和中，
因为，所以，
又由题知，
所以，
由已知求得，所以，
连接，则，
又求得的面积为，
所以由可知点到平面的距离为．
【点睛】本题考查解析几何的相关性质，考查线面平行、线面垂直、面面垂直、三棱锥面积公式等相关知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，考查辅助线的构造，是难题．
20.已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，且经过点.
（1）求标准方程；
（2）的右顶点为，过右焦点的直线与交于不同的两点，，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出，即可得到椭圆方程．
（2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可．
【详解】（1）解：由题意解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）点，右焦点，由题意知直线的斜率不为0，
故设的方程为，，，
联立方程得消去，整理得，
∴，，，
，
当且仅当时等号成立，此时：，
所以面积的最大值为．
【点睛】本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简整理和运算能力，属于中档题．
21.已知函数（为实数常数）
（1）当时，求函数在上的单调区间；
（2）当时，成立，求证：．
【答案】(1) 单调递增区间是，单调递减区间是．(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出函数的导函数，再解不等式与，从而求出函数的单调区间；
（2）当时，由等价于恒成立，再分别讨论：①当时，②当时，③当时，利用导数研究函数的单调性及最值从而得解.
【详解】解：（1）因为，所以，
当时，由得，解得，
由得，解得，
所以函数在的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）当时，由得
即恒成立（*），
设，则，由题可知
①当时，，所以在上单调递增，
，可知且时，，使得，可知（*）式不成立，则不符合条件；
②当时，，所以在上单调递减，
，可知（*）式成立，则符合条件，所以成立；
③当时，由得，由得，
所以在上单调递增，可知在上单调递减，
所以，由（*）式得，
设，则，所以在上单调递减，
而，，可知．
综上所述，．
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及由不等式恒成立求参数的范围，重点考查了不等式与函数的相互转化，属中档题.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的坐标方程为，若直线与曲线相切.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）在曲线上取两点、于原点构成，且满足，求面积的最大值.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）求出直线l的直角坐标方程为y2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r＝2，曲线C的普通方程为（x）2+（y﹣1）2＝4，由此能求出曲线C的极坐标方程．
（2）设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），由2sin（2），由此能求出△MON面积的最大值．
【详解】（1）由题意可知将直线的直角坐标方程为，
曲线是圆心为，半径为的圆，直线与曲线相切，可得：；
可知曲线的方程为，
曲线的极坐标方程为，
即.
（2）由（1）不妨设，，
.
当时，，
面积的最大值为.
【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
23.已知函数的定义域为；
（1）求实数的取值范围；
（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）由题意可知恒成立，令，分类讨论得到其解析式，通过作图发现其最大值，即可得到实数的取值范围；
（2）由（1）可知，所以，
可求其最小值.
试题解析：（1）由题意可知恒成立，令，
去绝对值可得：，
画图可知的最小值为-3，所以实数的取值范围为；
（2）由（1）可知，所以，
，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为