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- 2021-02-26 发布
绝密★启用前 试卷类型：A
2018年汕头市普通高考第一次模拟考试试题
理科数学
本试题卷共5页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1、 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合，，则（ ）
. . . .
2、若实数满足（为虚数单位），则（ ）
. . . .
3、甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是（ ）
. . . .
4、若，则的值为（ ）
. . . .
5、上海浦东新区2008年生产总值约3151亿元人民币，如果从此浦东新区生产总值的年增长率为，求浦东新区最早哪一年的生产总值超过8000亿元人民币？某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，如图1，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的内容的数学运算式应是（ ）
. . . .
6、汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图2，描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是（ ）
.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
7、平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值为（ ）
. . . .
8、函数在区间内是增函数，则（ ）
. . . .
9、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为（ ）
. . . .
10、已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）
. .
. .
11、如图3，画出的是某四棱锥的三视图，格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）
. . . .
12、已知都是定义域为的连续函数。已知：
满足：①当时，恒成立；
②都有.
满足：①都有；
②当时，.
若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（ ）
. . . .
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13、的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 .
14、已知椭圆的左右焦点是，设是椭圆上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则椭圆的离心率为 .
15、若平面区域夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是 .
16、在中，且，边上的中线长为，则的面积是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，且，.
（1） 求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2） 设，求数列的前项和.
18、（本小题满分12分）
如图4，多面体中，平面为正方形，，，，二面角的余弦值为，且.
（1） 证明：
（2） 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19、（本小题满分12分）
某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式（为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品. 现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸
38
48
58
68
78
88
质量
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
质量与尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
（1） 现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望；
（2） 根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
75.3
24.6
18.3
101.4
（i）根据所给统计量，求关于的回归方程；
（ii）已知优等品的收益（单位：千元）与的关系为，则当优等品的尺寸为何值时，收益的预报值最大？
附：对于样本，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.
20、（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，直线交于两点.
（1） 若直线过焦点，过点作轴的垂线，交直线于点，求证：点的轨迹为的准线；
（2） 若直线的斜率为1，是否存在抛物线，使得的斜率之积，且的面积为16，若存在，求的方程；若不存在，说明理由.
21、（本小题满分12分）
已知函数，其中.
（1） 设是的导函数，讨论的单调性；
（2） 证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解.
请考生在第22，23题中任选一题作答。作答时一定要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（都没涂黑的视为选做第22题）。
22、（本小题满分10分）
选修：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为. 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1） 求曲线的极坐标方程；
（2） 射线与曲线，分别交于，两点（异于原点），定点，求的面积.
23、（本小题满分10分）
选修：不等式选讲
已知函数
（1） 若，求不等式的解集；
（2） 关于的不等式有解，求实数的取值范围.
2018年汕头市普通高考第一次模拟考试
理科数学
参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
B
B
D
A
C
D
B
C
D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
题号
13
14
15
16
答案
或
说明：15题只答一个数不给分（即得0分）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
（1）法一：∵ ，
∴ -----------------2分
又
∴ 数列是首项为2，公差为1的等差数列 ------------------------3分
∴，即： ---------------4分
当时，，
当时，
∴ ， ------------------6分
法二：
，
即 ①
故 ②
②-①得：
化简得： -----------------2分
又由①可知，即
是首项为2，公差为2的等差数列， -----------------3分
-----------------4分
， -----------------5分
是首项为2，公差为1的等差数列. -----------------6分
（2）法一：解：由（Ⅰ）得：
设数列的前项和分别为，则 -----------7分
记，数列的前项和为
当时，，则
当时，
∴ ---------------------11分
∴ ----------------------12分
法二：由（1）知
设 ， ①
则 ②
① - ②得 ------------8分
-----------------10分
又， -----------------11分
， -----------------12分
法三：由（1）知：由（1）知
-----------------8分
-----------------10分
又，-----------------11分
-----------------12分
18．（本小题满分12分）
（1）证明：∵，，，由勾股定理得： --------1分
又正方形中，……2分
且， ∴面 ----3分
∵面，∴平面平面 ----4分
（注：第（1）只有一种证明方法，必须前面两个线线垂直和都出现，下面的3、4分才能给分，只写一个，本题只给1分。 上面一个垂直各占1分。）
（2）解：由（Ⅰ）知是二面角的平面角 ……5分
作于，则，
由平面平面，平面平面，面得：
面 ------6分
（第6分给在OE=2上，如果后面E的坐标写对，也可给这1分）
如图，建立空间直角坐标系，
则、、、 ∴
的一个方向向量 ---7分
设面的一个法向量，
则， ……8分
取，得： -----9分
（注：其他法向量坐标可按比例正确给，比如之类，也是正确的）
又面一个法向量为： ---10分
∴ ----11分
设面与面所成二面角为，由为锐角得： ----12分
（注：最后需要根据条件作答案为“正值”的说明，只算法向量答案，不做文字说明，扣1分。）
（第（2）问解法2）
∵ ∴ （）……7分
设面的一个法向量，
则……8分
令，得， ……9分 （后面步骤相同）
（第（2）问解法3）
以D点建系的解法，求出来的法向量与以上建系的坐标一样。
（第（2）问解法4：几何法）
连结BD，
延长CB至G，使得GB=BC=2 ， 连结GA并延长交CD的延长线于H，连结EH
过C作的延长线于点K，连结BK ……5分
∵B为CG中点，AB//CD ∴A为GH中点， ∴HD=CD=4
∴BD//GH ∴GH//EF， ∴H、A、G、E、F共面 ……6分
由（1）知 ∴ 又∵ ∴
∴为所求二面角的一个平面角 …… 8分
∵ 而
∴ ……9分 ∴……10分
∴ ……11分
G
H
K
∵为锐角 ∴面与面
所成二面角的锐角余弦值为……12分
19．（本小题满分12分）
（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即
则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品 -----------1分
现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数--------2分
， ， (算对两个给1分)
， ----------------------------3分
的分布列为
----------------------------4分
----------------------------5分
（2）解：对（）两边取自然对数得，
令，得，且， ----------------------------6分
（ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有，
----------------------------7分
，得，故 ----------------------8分
所求y关于x的回归方程为 ----------------------------9分
（ⅱ）由（ⅰ）可知，，则
由优等品质量与尺寸的比，即----10分
令，
当时，取最大值 ----------------------------12分
即优等品的尺寸（mm），收益的预报值最大.
20．（1）证明：依题意得，直线的斜率存在，过焦点，故设其方程为：，
设点,，
由得：，则 ---------------------------2分
直线，直线----------------------------3分
由得：，----------------------------4分
又由直线的斜率存在，可得，
故点的轨迹在的准线上(). ----------------------------5分
证法二：依题意得，直线的斜率存在，过焦点，故设其方程为：，
设点,，
由得：，则 ---------------------------2分
过点作轴的垂线，与的准线的交点为，而直线，---------3分
将代入直线方程得，即直线也过点，---------4分
又由直线的斜率存在，可得，
故点的轨迹在的准线上(). ----------------------------5分
（注：因为题目是证明，故没有说明不扣分）
21．（本小题满分12分）
（1）解：由已知，函数的定义域为， ------1分
所以 ----------------------------2分
当时，，单调递减 ----------------------------3分
当时，，单调递增 ----------------------------4分
（2）证明：由，解得 ---------------------5分
令 -------6分
则
于是，存在，使得 ----------------------------7分
令 ----------------------------8分
由（Ⅰ）知：，即 ------------------9分
当时，有
由（Ⅰ）知，在区间上单调递增
故：当时，，
当时，， ----------------------------10分
又当时，．
所以，当时，. ----------------------------11分
综上述，存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解 --12分
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
（1）解：曲线的直角坐标方程为：
----------------------------------------2分
(有转化正确，但最终写错，可给1分)
由，得：
曲线的极坐标方程为． -------------------------------4分
（没有给出转化公式扣1分，没有给出转化公式但有在做题中体现转化过程，可不扣分）
法一：
（2） 解：点到射线的距离为
-----------------------------------------6分
----------------------9分
（两个极径每求一个可得1分，两个2分，算对极径差值得1分）
则 -------------------------------10分
（如，则距离d这步得分可算在这里.）
法二：
（2）解：将
曲线的极坐标方程为
由，得：
由得
由得
-------------------------------6分
(每求对一个交点坐标得1分，两个都对得2分)
-------------------------------7分
点M到直线
-------------------------------8分
-------------------------------10分
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）解：当a=1时，原不等式等价于：． ----------------------------1分
当 ----------------------------2分
当 ----------------------------3分
当 ----------------------------4分
∴原不等式的解集为： ----------------------------5分
（2）解： ----------------------------6分
令，依题意： ----------------------------7分
∵，∴ ----------------------------8分
∴，解得或 ----------------------------9分
故：的取值范围为 ----------------------------10分