- 373.00 KB
- 2021-02-26 发布
2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合M={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣2≤x≤1}，则M∩B=（ ）
A．[﹣2，1] B．[﹣1，1] C．[1，3] D．[﹣2，3]
2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
4．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
5．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A． B． C． D．2
6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞） D．[4，+∞）
8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
9．（5分）函数y=的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．60 B．30 C．20 D．10
11．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）直线l过点M（1，﹣2），倾斜角为30°，则直线l的方程为 ．
14．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）= ．
15．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为 ．
16．（5分）关于函数，下列叙述正确的是 ．
①其图象关于直线对称；
②其图象可由的图象上所有点的横坐标变为原来的得到；
③其值域是[﹣2，4]； ④其图象关于点对称．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量，，且．
（ I）求角B的大小；
（ II）若b=6，求△ABC面积的最大值．
18．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+1+Sn﹣1=2Sn+2，（n≥2），a1=2，a2=4．
（ I）求数列{an}的通项公式；
（ II）设，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥面ABC，PC=3，∠ACB=，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．
（ I）证明：DE⊥面PCD；
（ II）求三棱锥P﹣BDE的体积．
20．（12分）如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为x，已知甲、乙两组的平均成绩相同．
（1）求x的值，并判断哪组学生成绩更稳定；
（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率．
21．（12分）如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设AP=1，AD=，三棱锥P ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．
22．（12分）已知圆心在直线y=2x上的圆C，与x轴相切，在y轴正半轴上截得的弦长为．
（ I）求圆C的方程；
（ II）若直线l：x+y﹣5=0交圆C于A、B两点，求|AB|．
2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合M={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣2≤x≤1}，则M∩B=（ ）
A．[﹣2，1] B．[﹣1，1] C．[1，3] D．[﹣2，3]
【分析】根据交集的定义，写出M∩B．
【解答】解：集合M={x|﹣1≤x≤3}，B={x|﹣2≤x≤1}，
则M∩B={x|﹣1≤x≤1}=[﹣1，1]．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S=，
则对应概率P==，
故选：B
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
3．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．
【解答】解：∵sinα﹣cosα=，
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，
∴sin2α=﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．
4．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【分析】由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5=3，
∴3a3=3，
∴a3=1，
∴S5==5a3=5．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A． B． C． D．2
【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，根据点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d=，
解得：a=﹣，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
∴+=（+）+（+）=+=（+）=，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关键．
7．（5分）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞） D．[4，+∞）
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．
8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=14，b=18
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2
不满足条件a≠b，输出a的值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．
9．（5分）函数y=的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．
【解答】解：函数y=，
可知函数是奇函数，排除选项B，
当x=时，f（）==，排除A，
x=π时，f（π）=0，排除D．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函数的图象的常用方法．
10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．60 B．30 C．20 D．10
【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，
该三棱锥的体积==10．
故选：D．
【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．
【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．
【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，
则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角
（因异面直线所成角为（0，]），
可知MN=AB1=，
NP=BC1=；
作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；
∵PQ=1，MQ=AC，
△ABC中，由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC
=4+1﹣2×2×1×（﹣）
=7，
∴AC=，
∴MQ=；
在△MQP中，MP==；
在△PMN中，由余弦定理得
cos∠MNP===﹣；
又异面直线所成角的范围是（0，]，
∴AB1与BC1所成角的余弦值为．
【解法二】如图所示，
补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；
BC1=，BD==，
C1D=，
∴+BD2=，
∴∠DBC1=90°，
∴cos∠BC1D==．
【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．
12．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．
【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，
故选C．
【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）直线l过点M（1，﹣2），倾斜角为30°，则直线l的方程为 ．
【分析】利用点斜式即可得出．
【解答】解：由题意可得直线l的方程为：y+2=（x﹣1）tan30°，
化为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线点斜式、斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）= 9 ．
【分析】由条件利用指数函数、对数函数的运算性质，求得f（﹣2）+f（log212）的值．
【解答】解：由函数f（x）=，
可得f（﹣2）+f（log212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，
故答案为：9．
【点评】
本题主要考查分段函数的应用，指数函数、对数函数的运算性质，求函数的值，属于基础题．
15．（5分）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为 8 ．
【分析】将（1，2）代入直线方程，求得+=1，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b的最小值．
【解答】解：直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则+=1，
由2a+b=（2a+b）×（+）=2+++2=4++≥4+2=4+4=8，
当且仅当=，即a=，b=1时，取等号，
∴2a+b的最小值为8，
故答案为：8．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题．
16．（5分）关于函数，下列叙述正确的是 ①②③ ．
①其图象关于直线对称；
②其图象可由的图象上所有点的横坐标变为原来的得到；
③其值域是[﹣2，4]； ④其图象关于点对称．
【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质，逐一判断各个结论是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于函数，当x=时，求得函数y=﹣2，为最小值，故函数的图象关于直线对称，故①正确；
它的图象可由的图象上所有点的横坐标变为原来的得到的，故②正确；
由于该函数的最小值为﹣3+1=﹣2，它的最大值为3+1=4，故它的值域是[
﹣2，4]；
由于当x=时，函数y=﹣+1=﹣，不是最值，故它的图象不关于点对称，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量，，且．
（ I）求角B的大小；
（ II）若b=6，求△ABC面积的最大值．
【分析】（I）由，得a2+c2﹣b2=ac，由此利用余弦定理能求出角B的大小．
（ II）由b=6，得36=a2+c2﹣ac≥ac，，由此能求出当且仅当a=b=c=6时，S△ABC的最大值为．
【解答】解：（I）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
向量，，且．
∴由得，a2﹣2ac+c2﹣b2+ac=0，
即a2+c2﹣b2=ac，
∴，
∵B是△ABC内角，∴．
（ II）∵b=6，∴，
即36=a2+c2﹣ac≥ac
又，
∴
∴当且仅当a=b=c=6时，S△ABC的最大值为．
【点评】本题考查角的大小的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+1+Sn﹣1=2Sn+2，（n≥2），a1=2，a2=4．
（ I）求数列{an}的通项公式；
（ II）设，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
【分析】（I）推导出Sn+1﹣Sn=Sn﹣Sn﹣1+2，n≥2，从而an+1﹣an=2，进而数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（II）推导出，由此利用裂项求和法能证明．
【解答】解：（I）∵数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+1+Sn﹣1=2Sn+2，（n≥2），
∴Sn+1﹣Sn=Sn﹣Sn﹣1+2，n≥2，
即an+1﹣an=2
又a1=2，a2=4，则a2﹣a1=2
∴数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列
∴an=2+（n﹣1）2=2n．
证明：（II）∵
则=
∵，
∴．
【点评】
本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的取值范围的证明，考查等差数列、裂项求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥面ABC，PC=3，∠ACB=，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．
（ I）证明：DE⊥面PCD；
（ II）求三棱锥P﹣BDE的体积．
【分析】（I）根据勾股定理得出DE⊥CD，又PC⊥平面ABC得出PC⊥DE，故DE⊥平面PCD；
（II）作设 CE的中点为F，连结DF，则，再代入体积公式计算三棱锥P﹣BDE的体积．
【解答】（ I）证明：因为PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，
所以PC⊥DE
又因为，则CD2+DE2=CE2，
所以CD⊥DE
又CD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩CD=C，
所以DE⊥平面PCD．
（ II）解：设 CE的中点为F，连结DF，
由于CD=DE且CD⊥DE，则
所以．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
20．（12分）如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为x，已知甲、乙两组的平均成绩相同．
（1）求x的值，并判断哪组学生成绩更稳定；
（2）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于20分的概率．
【分析】（1）根据两组数据的平均数相等，可得x的值，进而求出两组数据的方差，比较可得哪组学生成绩更稳定；
（2）分别计算在甲、乙两组中各抽出一名同学及成绩和低于20分的取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案．
【解答】解：（1）=（9+9+11+11）=10，
=（8+9+10+x+12）=10，
解得：x=1 …（2分），
又=[（9﹣10）2+（9﹣10）2+（11﹣10）2+（11﹣10）2]=1；
=[（8﹣10）2+（9﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=，…（4分）
∴＜，
∴甲组成绩比乙组稳定． …（6分）
（2）记甲组4名同学为：A1，A2，A3，A4；乙组4名同学为：B1，B2，B3，B4；
分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4）
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），
（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），共16个基本事件，
其中得分之和低于（20分）的共6个基本事件，…（10分）
∴得分之和低于（20分）的概率是：P==．…（12分）
【点评】本题考查了古典概型概率计算公式，茎叶图，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
21．（12分）如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设AP=1，AD=，三棱锥P ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．
【分析】（1）设BD与AC的交点为O，连接EO．证明EO∥PB．然后证明PB∥平面AEC．
（2）利用V=，可得AB．作AH⊥PB交PB于点H．说明AH⊥平面PBC．然后求解点A到平面PBC的距离．
【解答】（1）证明：设BD与AC的交点为O，连接EO．
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，所以EO∥PB．
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC．（6分）
（2）解：V=××PA×AB×AD=AB，由V=，可得AB=．
作AH⊥PB交PB于点H．
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，因为PB∩BC=B，所以AH⊥平面PBC．
又AH==，
所以点A到平面PBC的距离为 （12分）
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
22．（12分）已知圆心在直线y=2x上的圆C，与x轴相切，在y轴正半轴上截得的弦长为．
（ I）求圆C的方程；
（ II）若直线l：x+y﹣5=0交圆C于A、B两点，求|AB|．
【分析】（ I）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=4a2（a＞0），根据在y轴正半轴上截得的弦长为，求出a值，可得圆C的方程；
（ II）若直线l：x+y﹣5=0交圆C于A、B两点，先根据点到直线距离公式，求出d，进而利用弦长公式，可得答案．
【解答】解：（ I）∵圆C的圆心在直线y=2x上的圆C，与x轴相切，
设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=4a2（a＞0）
若在y轴正半轴上截得的弦长为，
则，
则a=1或a=﹣1（舍去）
所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4；
（ II）因为圆心到l的距离
所以．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的方程，难度中档．