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- 2021-02-26 发布
2017-2018学年四川省成都市“五校联考”高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（ ）
A．（1，0，0） B．（1，0，1） C．（1，1，1） D．（1，1，0）
2．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）与直线l：3x﹣5y+4=0关于x轴对称的直线的方程为（ ）
A．5x﹣3y+4=0 B．3x+5y+4=0 C．3x﹣5y﹣4=0 D．5x+3y+4=0
4．（5分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（ ）
A．9 B． C．1 D．
5．（5分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A．{k|k≥或k≤﹣4} B．{k|﹣4≤k≤} C．{k|﹣≤k＜4} D．以上都不对
6．（5分）已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆
7．（5分）如果椭圆+
=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y+3=0
8．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
9．（5分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，点P是椭圆C1和双曲线C2的一个公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知下列选项，其中错误的是（ ）
①过圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4外一点M（3，1），且与圆相切的直线方程为3x﹣4y﹣5=0；
②方程Ax2+By2=1（A＞0，B＞0）表示椭圆方程；
③平面内到点F1（0，4），F2（0，﹣4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线；
④方程﹣=1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线．
A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．②④
11．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ）
A． B． C．4 D．
12．（5分）已知点P（m，n）在椭圆+=1上，则直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．（5分）若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x= ．
14．（5分）不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是 ．
15．（5分）已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是 ．
16．（5分）已知点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知直线l1：2x+y+2=0，l2：mx+4y+n=0
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若l1∥l2，且l1与l2间的距离为，求m，n的值．
18．（12分）某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如表：
每件产品A
每件产品B
研制成本、搭载
费用之和（万元）
20
30
计划最大资金额
300万元
产品重量（千克）
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益（万元）
80
60
分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．
19．（12分）已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）
（Ⅰ）求圆的方程
（II）直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量（O为坐标原点），求实数k．
20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该椭圆的离心率与双曲线=1的离心率互为倒数．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且•=4，求y0的值．
2017-2018学年四川省成都市“五校联考”高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（ ）
A．（1，0，0） B．（1，0，1） C．（1，1，1） D．（1，1，0）
【分析】由正方体的棱长为1，结合题中的坐标系求出点B1在x轴、y轴、z轴上射影点的坐标，即可得到点B1的坐标．
【解答】解：根据题意，可得
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
∴点B1在x轴上的射影点为A（1，0，0），可得B1的横坐标为1；点B1在y轴上的射影点为C（0，1，0），
可得B1的纵坐标为1；点B1在z轴上的射影点为D1（0，0，1），可得B1的竖坐标为1．
由此可得点B1的坐标是（1，1，1）．
故选：C
【点评】本题给出坐标系和正方体的棱长，求定点B1的坐标．着重考查了空间坐标系的定义和正方体的性质等知识，属于基础题．
2．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【分析】令双曲线方程的右边为0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线标准方程为，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±x．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．
3．（5分）与直线l：3x﹣5y+4=0关于x轴对称的直线的方程为（ ）
A．5x﹣3y+4=0 B．3x+5y+4=0 C．3x﹣5y﹣4=0 D．5x+3y+4=0
【分析】设出直线方程上任一点坐标为（x，y），则关于x轴对称的坐标（x，﹣y）在直线3x﹣5y+4=0，带入可得答案．
【解答】解：由题意，设所求直线方程上任一点坐标为（x，y），则关于x轴对称的坐标（x，﹣y）
∵（x，﹣y）在直线3x﹣5y+4=0，
∴3x+5y+4=0，
即所求直线方程为3x+5y+4=0，
故选：B．
【点评】本题考查了直线关于原点对称直线方程的求法，属于基础题．
4．（5分）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（ ）
A．9 B． C．1 D．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+
y，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=x+y，过可行域内的点A（4，5）时的最大值，从而得到z最大值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
设z=x+y，
∵直线z=x+y过可行域内点A（4，5）时
z最大，最大值为9，
故选A．
【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．
5．（5分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是（ ）
A．{k|k≥或k≤﹣4} B．{k|﹣4≤k≤} C．{k|﹣≤k＜4} D．以上都不对
【分析】根据题意，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y+1﹣k=0，由一元二次不等式的几何意义可得（2k+3+1﹣k）（﹣3k+2+1﹣k）≤0，解可得k的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y+1﹣k=0，
直线l过P（1，1）且与线段AB相交，则A、B在l的两侧或在直线上，
则有（2k+3+1﹣k）（﹣3k+2+1﹣k）≤0，
即（k+4）（4k﹣3）≥0，
解可得k≥或k≤﹣4，
即k的取值范围是{x|k≥或k≤﹣4}；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次不等式表示平面区域的问题，注意直线与线段相交，即线段的2个端点在直线的两侧或在直线上．
6．（5分）已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆
【分析】由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=2a，又|PQ|=|PF2|，代入上式，可得|F1Q|=2a．再由圆的定义得到结论．
【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a，|PQ|=|PF2|，
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a．
∴|F1Q|=2a．
∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，
∴动点Q的轨迹是圆．
故选D．
【点评】本题主要考查椭圆和圆的定义的应用，考查学生分析转化问题的能力，属于基础题．
7．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．x+2y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y+3=0
【分析】由题意可知：将E，F代入椭圆方程，由中点坐标公式
，做差求得直线EF的斜率公式，由直线的点斜式方程，即可求得条弦所在的直线方程．
【解答】解：设过点A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），
由中点坐标公式可知：，
则，两式相减得：+=0，
∴=﹣，
∴直线EF的斜率k==﹣，
∴直线EF的方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），整理得：2y+x﹣3=0，
故选A．
【点评】本题考查直线的点斜式方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
8．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】根据反射定理可得圆心C（2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（﹣1，﹣3）也在入射光线上，利用斜率公式求得入射光线的斜率．
【解答】解：根据反射定律，圆心C（2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，
再由点P（﹣1，﹣3）也在入射光线上，可得入射光线的斜率为=，
故选：C．
【点评】本题主要考查反射定理的应用，直线的斜率公式，属于中档题．
9．（5分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，点P是椭圆C1和双曲线C2的一个公共点，若|PF2|=2，则椭圆C1的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用双曲线、椭圆的定义，求出a，利用双曲线的性质，求出c，即可求出椭圆C1的离心率．
【解答】解：由题意，不妨设P在第一象限，
∵|PF2|=2，∴|PF1|=6，
∴2a=|PF2|+|PF2|=8，
∴a=4．
∵双曲线C2：x2﹣y2=4可化为=1，
∴c==2
∵椭圆C1：=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2﹣y2=4有相同的右焦点F2，
∴c=2，
∴椭圆C1的离心率为e==，
故选：B．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于基础题．
10．（5分）已知下列选项，其中错误的是（ ）
①过圆（x﹣1）2+（y﹣2）2
=4外一点M（3，1），且与圆相切的直线方程为3x﹣4y﹣5=0；
②方程Ax2+By2=1（A＞0，B＞0）表示椭圆方程；
③平面内到点F1（0，4），F2（0，﹣4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线；
④方程﹣=1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线．
A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．②④
【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①过圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4外一点M（3，1），且与圆相切的直线方程为3x﹣4y﹣5=0或x=3，错误；
②方程Ax2+By2=1（A＞0，B＞0）表示椭圆方程，A=B，表示圆，错误；
③平面内到点F1（0，4），F2（0，﹣4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是射线，错误；
④方程﹣=1（m＞0，n＞0）表示焦点在x轴上的双曲线，错误．
故选A．
【点评】本题考查圆锥曲线，考查学生对圆锥曲线方程、定义的理解，属于中档题．
11．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．
【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）
∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，
∴2+=3
∴p=2
∴抛物线方程为y2=4x
∵M（2，y0）
∴
∴|OM|=
故选B．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．
12．（5分）已知点P（m，n）在椭圆+=1上，则直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【分析】由点P在椭圆上得到m，n的关系，把n用含有m的代数式表示，代入圆心到直线的距离中得到圆心到直线的距离小于等于圆的半径，则答案可求．
【解答】解：∵P（m，n）在椭圆+=1上，
∴，，
圆x2+y2=的圆心O（0，0）到直线mx+ny+1=0的距离：
d==，
∴直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为相交或相切．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的简单性质，考查了直线和圆的位置关系，是基础题．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．（5分）若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x= 3 ．
【分析】三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线，利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程求出x．
【解答】解：三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，
，，
⇒1×（﹣10）=﹣5（x﹣1）⇒x=3
故答案为3
【点评】本题考查向量坐标的求法、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．
14．（5分）不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是 （2，3） ．
【分析】直线方程即 k（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，一定经过2x﹣y﹣1=0和﹣x﹣3y+11=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标．
【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0
即 k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0，
根据k的任意性可得 ，
解得，
∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）=0都经过一个定点（2，3）．
故答案为：（2，3）．
【点评】本题考查经过两直线交点的直线系方程形式，直线 k（ax+by+c）+（mx+ny+p）=0 表示过ax+by+c=0和mx+ny+p=0的交点的一组相交直线，但不包括ax+by+c=0这一条．
15．（5分）已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是 x=﹣4和4x+3y+25=0 ．
【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．
【解答】解：圆心（﹣1，﹣2），半径r=5，弦长m=8，
设弦心距是d，
则由勾股定理，
r2=d2+（）2
d=3，
若l斜率不存在，直线是x=﹣4，
圆心和他的距离是﹣3，符合题意，
若l斜率存在，设直线方程y+3=k（x+4），
即kx﹣y+4k﹣3=0，
则d==3，
即9k2﹣6k+1=9k2+9，
解得k=﹣，所以所求直线方程为x+4=0和4x+3y+25=0，
故答案为：x=﹣4和4x+3y+25=0．
【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查圆心到直线的距离公式的应用，注意直线的斜率不存在的情况，容易疏忽，产生错误．
16．（5分）已知点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于 ．
【分析】取双曲线的一条渐近线：，与抛物线方程联立即可得到交点A的坐标，再利用点A到抛物线的准线的距离为p，即可得到a，b满足的关系式，利用离心率计算公式即可得出．
【解答】解：取双曲线的一条渐近线：，联立解得，故A．
∵点A到抛物线的准线的距离为p，∴，化为．
∴双曲线C2的离心率．
故答案为．
【点评】熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知直线l1：2x+y+2=0，l2：mx+4y+n=0
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若l1∥l2，且l1与l2间的距离为，求m，n的值．
【分析】（1）由l1⊥l2，可得﹣2×=﹣1，解得m．
（2）l1∥l2，则，解得m．在直线l1上取点（0，﹣2），由l1与l2间的距离为，可得：=，解得n．
【解答】解：（1）∵l1⊥l2，∴﹣2×=﹣1，解得m=﹣2．
（2）l1∥l2，则，解得m=8．
在直线l1上取点（0，﹣2），由l1与l2间的距离为，
∴=，解得n=18，或﹣2．满足条件．
∴m=8，n=18，或﹣2．
【点评】本题考查了相互垂直与平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（12分）某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如表：
每件产品A
每件产品B
研制成本、搭载
费用之和（万元）
20
30
计划最大资金额
300万元
产品重量（千克）
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益（万元）
80
60
分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示
（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．
【分析】设搭载的产品中A有x件，产品B有y件，得到关于x，y的不等式组，即约束条件和目标函数，然后根据线行规划的方法不难得到结论
【解答】解：设搭载产品Ax件，产品By件，
预计总收益z=80x+60y．
则，作出可行域，如图．
作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，
当直线经过M点时z能取得最大值，
联立，解得M（9，4）．
∴zmax=80×9+60×4=960（万元）．
答：搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查简单的数学建模思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
19．（12分）已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）
（Ⅰ）求圆的方程
（II）直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量（O为坐标原点），求实数k．
【分析】（Ⅰ）求出圆心与半径，即可求圆的方程；
（II）直线与圆联立：得：（1+k2）x2+6kx+7=0，利用韦达定理，M代入圆方程：（x1+x2）2+（y1+y2）2=2，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣4a）2=r2
因为直线相切，圆心到直线的距离d=，
且圆心与切点连线与直线l垂直
则：可得a=0，r=，
所以圆的方程为：x2+y2=2．
（II）直线与圆联立：，
得：（1+k2）x2+6kx+7=0，
△=8k2﹣28＞0，解得．k或k，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则：，，
，
将M代入圆方程：（x+x2）2+（y1+y2）2=2，
，
求得k=．
【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力．
20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．
【分析】（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．
（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．
【解答】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，
得4=2p，p=2
∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1
（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，
由得y2+2y﹣2t=0，
∵直线l与抛物线有公共点，
∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣
又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1
∵t≥﹣
∴t=1
∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0
【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．
21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）直线l：x﹣y+m=0与椭圆交于A，B两点，是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求出M点坐标，代入圆的方程方程求出m，进而判断是否存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且a2=2b，
∴，解得a=，b=1，c=1，
∴椭圆方程为=1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），
联立方程组，得3x2+2mx+m2﹣2=0，
△=（2m）2﹣4×3×（m2﹣2）＞0，解得m2＜3，
，
∴，，
即M（﹣，），
∵M点在圆x2+y2=5上，
∴（﹣）2+（）2=5．
解得m=±3与m2＜3矛盾．
∴不存在实数m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数得否存在的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
22．（12分）已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该椭圆的离心率与双曲线=1的离心率互为倒数．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且•=4，求y0的值．
【分析】（1）由抛物线方程 求得焦点坐标，求得c的值，由双曲线的离心率公式求得其离心率，则e==，即可求得椭圆的半长轴a的值，则b2=a2﹣c2，即可求得半短轴，即可求得椭圆的方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得，则，即可求得B点坐标，由中点坐标公式求得M点坐标，分类当k=0时及当k≠0时，由•=4，根据向量的坐标表示，即可求得y0的值．
【解答】解：（1）抛物线的焦点坐标为，
所以…（1分）
双曲线的离心率为，
所以椭圆的离心率e==，解得：a=2，
所以b2=1…（3分）
∴椭圆方程为：；…（4分）
（2）由（1）知A（﹣2，0），且直线l的斜率必存在，设斜率为k，
则直线方程为：y=k（x+2），设点B的坐标为（x1，y1），
联立方程，方程消去y整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0…（5分）
A，B两点坐标满足上述方程，由韦达定理得，
所以，
所以A（﹣2，0），B的坐标为，…（6分）
线段AB的中点为M，则M点坐标为…（7分）
以下分两种情况：
①当k=0时，点B的坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是，
…（8分）
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为，
令x=0，解得，
由…（9分）
∴•=﹣2x1﹣y0（y1﹣y0），
=﹣2×+（+），
==4…（10分）
整理得：…（11分）
综上所述，或．…（12分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查双曲线及抛物线的简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及向量数量积的坐标表示的综合运用，考查计算能力，属于中档题．