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- 2021-02-26 发布
三峡名校联盟高2013级3月联考
数学（理科）试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，则（ ）．
A． B． C． D．
2.已知数列{ an }满足a1=，且对任意的正整数m,n，都有am+n= am + an，则等于（ ）
A． B． C． D．2
3．若是纯虚数，则的值为( )．
A． B． C. D.或
4.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知某三棱锥的三视图（单位:Cm)如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A. 6cm3 B.2cm3 C.3 cm3 D.1cm3
否
输出
结束
?
是
输入M，N
开始
第7题图
6.若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆内的概率为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知， 由如右程序框图输出的（ ）
A. B. C. D.
8．设函数的图像关于直线对称,它的周期是,则（ ）
A．的图象过点 B.在上是减函数
C.的一个对称中心是 ks5
uD. 将的图象向右平移个单位得到函数的图象
9. 点为双曲线：和圆： 的一个交点，且，其 中为双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
10. 函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）
对称， 满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．11.12.13为必答题.14.15.16为三选二.若都选.则计14.15题得分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分
11.点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离为
.12. .在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则：的最大值为______:
13．给出以下命题：
① 双曲线的渐近线方程为；
② 命题“，”是真命题；
③ 已知线性回归方程为，当变量增加个单位，其预报值平均增加个单位；
④ 设随机变量服从正态分布，若，则；
⑤ 已知，，，
，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为，（）
则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．
选做题
14.曲线与曲线的交点间距离为
15.如图△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,，则
16.关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 __ 三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
第16题图
C
B
D
A
17.（本小题满分13分）
如图，在△中，，为中点，.
记锐角．且满足．
（1）求；
（2）求边上高的值．
18．（本小题满分13分）
现有长分别为、、的钢管各根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．
（1）当时,记事件{抽取的根钢管中恰有根长度相等}，求；
（2）当时,若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求的分布列；
②令，，求实数的取值范围．
19． （本小题满分13分）
如图，四边形PCBM是直角梯形，，∥，
．又，，直线AM与直线PC所成的角为．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
20. (本小题满分12分)
已知函数．
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）当时，方程有实根，求实数的最大值。
21．（本小题满分12分）
已知抛物线和椭圆都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这两条曲线的方程；
（2）对于抛物线上任意一点，点都满足，求的取值范围．
22.（本小题满分12分）
已知正项数列的前项和为，且 .
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）是否存在非零整数，使不等式
对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
三峡名校联盟高2013级3月联考
数学试题答案（理科）
一、1-5 CBABD 6-10 ACCBD
二、11. 12. 9/2 13. ①③⑤ 14. 2 15. 4 16.
17（1）∵，∴，
∵，∴． -----------------6分
（2）方法一、由（1）得，
∵， 7
∴， ----------10分
在中，由正弦定理得：，
第16题图
C
B
D
A
H
∴， ----------12分
则高． -----------------13分
方法二、如图，作 边上的高为
在直角△中，由（1）可得，
则不妨设 则 ---------9分
注意到，则为等腰直角三角形，所以 ，
则 ----------11分
所以，即 ----------13分
18.解：(1)事件为随机事件， ………………………………………4分
（2）①可能的取值为
2
3
4
5
6
∴的分布列为：
……………………………………………………9分
② ………………………………11分
，
， …………………………………………13分
19、方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分
（2）取BC的中点N，连MN．∵，∴，∴平面ABC．作
，交AC的延长线于H，连结MH．由三垂线定理得，∴为二面角的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为，∴在中，．
在中，．
在中，．
在中，．
在中，∵，∴．
故二面角的余弦值为．13分
方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分
（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设，则．．
……………5分
∵，
且，∴，得，∴．……………8分
设平面MAC的一个法向量为，则由得得∴．……………10分
平面ABC的一个法向量为．．……………12分
显然，二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．13分
20.（1）．……1分
因为为的极值点，所以．…………………………………2分
即，解得． ………………………………………3分
又当时，，从而的极值点成立．……………4分
（2）若时，方程可化为，．
问题转化为在上有解，
即求函数的值域． ……………………7分
以下给出两种求函数值域的方法：
方法1：因为，令，
则 ， ……………………9分
所以当，从而上为增函数，
当，从而上为减函数， …………10分
因此．
而，故，
因此当时，取得最大值0． …………………………12分
方法2：因为，所以．
设，则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
因为，故必有，又，
因此必存在实数使得，
，所以上单调递减；
当，所以上单调递增；
当上单调递减；
又因为，
当，则，又．
因此当时，取得最大值0． …………………………………………12分
21解：（1）设抛物线方程为，将代入方程得
-------------------2分
由题意知椭圆、双曲线的焦点为----------------3分
对于椭圆，
，
所以椭圆方程为----------------6分
（2）设------------（7分）
由得---------------（9分）
恒成立------------------10分
则
∴-----------12分
22. (1）由.
当时，，解得或（舍去）． ……2分
当时，
由，
∵，∴，则，
∴是首项为2，公差为2的等差数列，故． ………………4分
另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)．
（2）证法一：∵
，……4分
∴当时，
.… 7分
当时，不等式左边显然成立. ……………… 8分
证法二：∵，∴.
∴.……4分
∴当时，
.……7分
当时，不等式左边显然成立. ……8分
（3）由，得，
设，则不等式等价于.
，……9分
∵，∴，数列单调递增.
假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则
① 当为奇数时，得； ……11分
② 当为偶数时，得，即. ……12分
综上，，由是非零整数，知存在满足条件．…… 12分