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- 2021-02-26 发布
宁夏青铜峡市高级中学（吴忠中学青铜峡分校）2019-2020
学年高一 3 月空中课堂在线第一次测试试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.如图，在平行四边形 中，下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在平行四边形 中,显然有 , ,故 A,D 正确;
根据向量的平行四边形法则,可知 ,故 B 正确;
根据向量的三角形法, ,故 C 错误;
故选:C.
2.已知 为第二象限角， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 为第二象限角， ，所以 ．
所以 ．故选：A．
3.(2015 新课标全国Ⅰ理科) =（ ）
A. B.
ABCD
AB DC= AD AB AC+ = AB AD BD− = 0AD CB+ =
ABCD AB DC= 0AD CB+ =
AD AB AC+ =
AB AD DB− =
α
3sin 5
α =
sin 2α =
24
25
− 12
25
− 12
25
24
25
α
3sin 5
α = 23 4cos 1 ( )5 5
α = − − = −
3 4 24sin 2 2sin cos 2 ( )5 5 25
α α α= = × × − = −
o o o osin 20 cos10 cos160 sin10−
3
2
− 3
2
C. D.
【答案】D
【解析】原式= = = ，故选 D.
4.已知点 ，向量 ，则向量 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【 解 析 】 由 题 意 ， 所 以
．
故选：C．
5. ， ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
【解析】由题意 ，则 ，
故选：A．
6.在 中， ， ．若点 满足 ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ．
故选：C．
7.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
1
2
− 1
2
o o o osin 20 cos10 cos20 sin10+ osin30
1
2
(1,1), (3,2)A B (4,3)AC = BC =
(6,4) ( 6, 4)− − (2,2) ( 2, 2)− −
(3,2) (1,1) (2,1)AB = − =
(4,3) (2,1) (2,2)BC AC AB= − = − =
(1, 2)= −a ( 3,5)b = − (1,2)c = (2 )a b c+ ⋅ =
1− 3 ( 1,2)−
2 ( 1,1)a b+ = − (2 ) 1 1 1 2 1a b c+ ⋅ = − × + × =
ABC AB c= AC b= D 3BD DC= AD
1 1
2 4b c− 5 1
4 4c b− 3 1
4 4b c+ 1 3
4 4b c+
3BD DC=
3
4BD BC=
3 3 ( )4 4AD AB BD AB BC AB AC AB= + = + = + − 1 3 1 3
4 4 4 4AB AC c b= + = +
tan 2,tan( ) 3α α β= + = tan =b
1
7 1−
5
7
1
5
−
【答案】A
【解析】 ．
故选：A．
8.设 ， ， ．若 ，则实数 值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知得 ，因为 ，则 ，
因此 ，解得 ，故选 A．
9. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解】
．
故选：B．
10.平面向量 与 的夹角为 ,则 （ ）
A. B. 12 C. 4 D.
【答案】D
【解析】由题意可得
的
【
tan( ) tan 3 2 1tan tan[( ) ] 1 tan( ) tan 1 3 2 7
α β αβ α β α α β α
+ − −= + − = = =+ + + ×
(1,2)a = (1,1)b = c a kb= + b c ⊥ k
3
2
− 5
3
− 5
3
3
2
(1,2) (1,1)c k= + ( 1, 2)k k= + + b c ⊥ 0b c⋅ =
1 2 0k k+ + + = k =
3
2
−
cos49 cos19 cos30
sin19
− =
3
2
− 1
2
− 1
2
3
2
cos49 cos19 cos30 cos(19 30 ) cos19 cos30
sin19 sin19
− + ° −=
cos19 cos30 sin19 sin30 cos19 cos30
sin19
°− ° °−=
1
2
= −
a b 60 ,| | 2 |, | 1a b= = | 2 |a b+ =
3 2 3
2| 2 | ( 2 )a b a b+ = +
2 2 2 24 4 4 4| || | cos60a b a b a b a b= + + ⋅ = + + °
2 2 12 4 1 4 2 1 2 32
= + × + × × × =
故选：D．
11.设非零向量 满足 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ．
故选：D．
12.已知 ， 均为锐角，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，所以
，
即 ，故选 A．
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
13. ， ，若 ，则 ___________
【答案】
【解析】由题意 ， ．
故答案为： ．
14.已知 是锐角， ，则 ___________．
,a b a b a b+ = −
| | | |a b= | | | |a b> / /a b a b⊥
a b a b+ = − 2 2( ) ( )a b a b+ = − 2 2 2 2
2 2a a b b a a b b+ ⋅ + = − ⋅ +
0a b⋅ = a b⊥
α β sin2 2sin2α β=
tan( ) 3tan( )α β α β+ = − tan( ) 2tan( )α β α β+ = −
3tan( ) tan( )α β α β+ = − 3tan( ) 2tan( )α β α β+ = −
sin2 2sin2α β=
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 sin2 sin2tan sin cos 2
1tan cos sin sin2 sin22
α βα β α β α β
α β α β α β α β
++ + −= = =− + − − 3sin2 3sin2
β
β =
( ) ( )tan 3tanα β α β+ = −
(1, 2)= −a ( ,1)b x= / /a b x =
1
2
−
1 1 ( 2) 0x× − − ⋅ =
1
2x = −
1
2
−
α
1cos 3
α =
tan2α =
【解析】因为 是锐角， ，所以 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
15.已知 ，则 ___________．
【答案】6
【 解 析 】
．
故答案为：6．
16. ___________．
【答案】1
【解析】
故答案为：1
17.在平面直角坐标系中，已知点 , ， ， 是 轴上的两个动点，且
，
则 的最小值为__________
【答案】
【解析】设 ， ，又 , ，
所以 ， ，
所以 ，又知 ，
α
1cos 3
α = 21 2 2sin 1 ( )3 3
α = − =
sintan 2 2cos
αα α= = 2 2
2tan 2 2 2 4 2tan 2 1 tan 71 (2 2)
αα α
×= = = −− −
4 2
7
−
1sin 2 3
α = 1tan tan
α α+ =
2 21 sin cos sin cos 1 2 2tan 61tan cos sin sin cos sin cos sin 2
3
α α α αα α α α α α α α α
++ = + = = = = =
3 tan15
1 3 tan15
− ° =
+ °
( )3 tan15 tan60 tan15 tan 60 15 tan 45 11 tan 60 tan151 3 tan15
− ° °− °= = °− ° = ° =+ ° °+ °
( 1 0)A − ， (2,0)B E F y
4EF =
AE BF⋅
6−
(0, )E m (0, )F n ( 1 0)A − ， (2,0)B
(1, )AE m= ( 2, )BF n= −
2AE BF mn⋅ = − + 4EF =
所以 ，
①当 时， ，
所以当 时，即 ， 时， 的最小值为 ；
②当 时， ，
所以当 时，即 ， 时， 的最小值为 .
综上， 的最小值为 .
故答案为： .
三、解答题：共 35 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.已知 ， ， 是第一象限的角
（1）求 的值
（2）求 的值
【解】（1） ， 是第一象限的角
，
（2） ，
19.已知 ， ， 与 的夹角为 ， ， .
4m n− =
4m n= + 2 22 ( 4) 2 4 2 ( 2) 6AE BF mn n n n n n⋅ = − + = + − = + − = + −
2n = − (0,2)E (0, 2)F − AE BF⋅ 6−
4m n= − 2 22 ( 4) 2 4 2 ( 2) 6AE BF mn n n n n n⋅ = − + = − − = − − = − −
2n = (0, 2)E − (0,2)F AE BF⋅ 6−
AE BF⋅ 6−
6−
5 12sin ,cos5 13
α β= = ( , )2
πα π∈ β
sin( ) α β−
tan(2 )α β+
,2
πα π ∈ β
2
5 2 5cos 1 5 5
α ∴ = − − = −
212 5sin 1 13 13
β = − =
5 12 2 5 5 22 5sin( ) sin cos cos sin 5 13 5 13 65
α β α β α β ∴ − = ⋅ − ⋅ = × − − × =
5 5 1tan 5 22 5
α = × − = − 5 13 5tan 13 12 12
β = × =
2
2tan 1 4tan 2 11 tan 31 4
αα α
−∴ = = = −− −
4 5
tan 2 tan 333tan(2 ) 4 51 tan 2 tan
12
561 3 12
α βα β α β
− ++∴ + = = = −− ⋅ + ×
2a = 3b =
a b 60 5 3c a b= + ( )2d a kb k R= + ∈
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求 ．
【解】（1） ， 存在唯一的实数 ，使得 ，即 ，
，解得 ， ；
（2） ，
， ，即 ，
， ，解得 .
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期和最大值；
（2）讨论函数 的单调递增区间.
【解】（1）
∴ 的最小正周期 ， 的最大值为 2.
（2）由 ，
∴函数 的单调递增区间为 .
//c d k
c d⊥ k
//c d
∴ λ c dλ= 5 3 2a b a k bλ λ+ = +
2 5
3k
λ
λ
=∴ =
5
2x = 6
5k =
2 3 cos60 3a b⋅ = × × =
c d⊥
0c d∴ ⋅ = ( ) ( )5 3 2 0a b a kb+ ⋅ + =
( )2 2
10 5 6 3 0a k a b kb∴ + + ⋅ + = ( )40 3 5 6 27 0k k∴ + + + =
29
21k = −
( ) 22 3sin cos 2cos 1f x x x x= + −
( )f x
( )f x
( )f x 3sin2 cos2 2sin 2 6x x x
π = + = +
( )f x T π= ( )f x
2 2 2 ,2 6 2k x k k
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈Z ,3 6k x k k
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈Z
( )f x , ,3 6k k k
π ππ π − + + ∈ Z