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- 2021-02-26 发布
辅导教案
学员姓名： 学科教师：
年 级： 辅导科目：
授课日期
××年××月××日
时 间
A / B / C / D / E / F段
主 题
椭圆与双曲线
教学内容
1. 巩固复习椭圆与双曲线的性质；
2. 能综合运用椭圆与双曲线的性质解题。
（以提问的形式回顾）
1. 对比椭圆与双曲线的性质，你能发现他们哪些性质相近，而哪些性质又完全不同？
可以从定义，焦点三角形面积公式，与直线的位置关系等等很多角度去总结。
2. 讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．
分析：由于，，则的取值范围为，，，分别进行讨论．
解：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
（2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3），，时，所给方程没有轨迹．
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′：－=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.
【答案】：类似的性质为若MN是双曲线－=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为（m，n），
则点N的坐标为（－m，－n），
其中－=1.
又设点P的坐标为（x，y），
由kPM=，kPN=，
得kPM·kPN=·=，
将y2=x2－b2，n2=m2－b2，代入得
kPM·kPN=.
【评注】：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.
试一试：已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.
（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；
（2）若，直线的斜率为，求证：；
（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由.
解：设直线与椭圆的交点坐标为.
（1）把代入可得：，
则，当且仅当时取等号
（2）由得，，
所以
（3）直线和的斜率的乘积是一个非零常数.
当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，
由消去整理得
则 ① 又 ②
所以
当直线与轴垂直时，由得两交点，
显然.所以直线和的斜率的乘积是一个非零常数.
例2. 椭圆，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．
（1）求实数的值；
（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线、分别与相交与、，证明：；
解：（1）由题意知：半长轴为，则有 ∴
（2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为．
由得，
设，，则，是上述方程的两个实根，于是，．
又点的坐标为，所以
故，即，故
例3. 已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为,。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知,,是椭圆C上异于、的任意一点，直线、分别交y轴于、,求的值；
（3）在（2）的条件下，若,,且，，分别以OG、OH为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点坐标。
解：（1）、
所以椭圆C的标准方程为。
（2）设，直线
令x=0，得：，
所以：=，
（3），
又
两正方形的面积和为当且仅当时，等式成立。
两正方形的面积和的最小值为10，此时G、H。
例4. 已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。
（1）求椭圆方程；
（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点。证明：为定值；[来源:学|科|网]
（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1），，椭圆方程为。
（2），设，则。
直线：，即，
代入椭圆得
。
，。[来源:学科网ZXXK]
，
（定值）。
（3）设存在满足条件，则。
，，
则由得 ，从而得。
存在满足条件。
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1. 已知椭圆的方程为，长轴是短轴的2倍，且椭圆过点，斜率为的直线过点，为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件．
（1）写出椭圆方程，并求点到直线的距离；
（2）若椭圆上恰好存在3个这样的点，求的值．
解：（1）由题意得 解得
∴椭圆方程为：
直线的方程为，其一个法向量，设点B的坐标为，由及 得
∴到直线的距离为
（2）由（1）知，点B是椭圆上到直线的距离为1的点，即与直线的距离为1的二条平行线与椭圆恰好有三个交点。
设与直线平行的直线方程为
由得，即
……①
当时，……②
又由两平行线间的距离为1，可得……③
把②代入③得，即，
即，或
当时，代入②得，代回③得或
当，时，由①知
此时两平行线和与椭圆只有一个交点，不合题意；
当时，代入②得，代回③得或
当，时，由①知
此时两平行线和，与椭圆有三个交点，
∴
2. 已知椭圆的两焦点分别为，是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点． （1）求点坐标；（2）当直线经过点时，求直线的方程；(3)求证直线的斜率为定值．
[解]（1）由题可得，，设则，，∴，（1分）∵点在曲线上，则，解得点的坐标为．
（2）当直线经过点时，则的斜率为，因两条直线的倾斜角互补，故的斜率为，
由得，
即，故，（2分）同理得，
∴直线的方程为
(3) 依题意，直线的斜率必存在，不妨设的方程为：
．由 得
，（2分）设，则
，，同理，
则，同理．
所以：的斜率为定值．
3. 已知双曲线的中心在原点,是它的一个顶点,是它的一条渐近线的一个方向向量.
（1）求双曲线的方程;
（2）若过点()任意作一条直线与双曲线交于两点 (都不同于点),求的值;
（3）对于双曲线G:,为它的右顶点,为双曲线G上的两点(都不同于点),且,求证:直线与轴的交点是一个定点.
解:(1)设双曲线C的方程为,则,
又 ,得,所以,双曲线C的方程为
(2) 当直线垂直于轴时,其方程为,的坐标为(,)、(,),
,所以=0
当直线不与轴垂直时,设此直线方程为,
由得.
设,则, ,
故
++=0 .综上,=0
(3) 设直线的方程为:,
由,得,
设,则, ,
由,得,
即,
,
化简得, 或 (舍),
所以,直线过定点(,0)
本节课主要知识点：椭圆与双曲线性质的综合应用
【巩固练习】
1. 在平面直角坐标系中,方向向量为的直线经过椭圆的右焦点,与椭圆相交于、两点
(1)若点在轴的上方,且,求直线的方程;
(2)若,,求△的面积;
(3)当(且)变化时,试求一点,使得直线和的斜率之和为.
解： (1)由题意,得,所以
且点在轴的上方,得
,
直线:,即直线的方程为
(2)设、,当时,直线:
将直线与椭圆方程联立,
消去得,,解得,
,所以
(3)假设存在这样的点,使得直线和的斜率之和为0,由题意得,
直线:()
,消去得,
恒成立,
,
所以
解得,所以存在一点,使得直线和的斜率之和为0
【预习思考】
1. 直线的一个方向向量为___________；
2. 经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线的一般式方程为___________；
3. 已知两定点A（1,3），B（-3,1），动点P（x，y）满足，如果，则动点P的坐标所满足的直线方程为___________；
4. 过点（3，-2）且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是___________ .
5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线l过点交双曲线的左支于A、B两点，且，则的周长为___________；