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- 2021-02-26 发布
高考达标检测（二十七） 简单的线性规划问题
一、选择题
1．若 O 为坐标原点，实数 x，y 满足条件
x＋y≥1，
x－y≥－1，
2x－y≤2，
在可行域内任取一点 P(x，
y)，则|OP|的最小值为( )
A．1 B. 3
C. 2
2 D.3
2
解析：选 C 作出不等式组所表示的平面区域如图
中阴影部分所示，
可知|OP|的最小值为点 O 到直线 x＋y＝1 的距离，
所以|OP|的最小值为 2
2 .
2．(2017·山东高考)已知 x，y 满足约束条件
x－y＋3≤0，
3x＋y＋5≤0，
x＋3≥0，
则 z＝x＋2y 的最大值
是( )
A．0 B．2 C．5 D．6
解析：选 C 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，
将直线 y＝－x
2
＋z
2
进行平移，显然当该直线过点 A 时 z 取得最大值，
由 3x＋y＋5＝0，
x＋3＝0，
解得 x＝－3，
y＝4，
即 A(－3,4)，
所以 zmax＝－3＋8＝5.
3．已知 x，y 满足
2x－y≤0，
x－3y＋5≥0，
x≥0，
y≥0，
则 z＝8－x·
1
2 y 的最小值为( )
A．1 B.
3 2
4
C. 1
16 D. 1
32
解析：选 D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而 z＝8－x·
1
2 y＝2－3x－y，
欲使 z 最小，只需使－3x－y 最小即可．由图知当 x＝1，y＝2 时，－3x－y 的值最小，且－
3×1－2＝－5，此时 2－3x－y 最小，最小值为 1
32.
4．(2017·浙江高考)若 x，y 满足约束条件
x≥0，
x＋y－3≥0，
x－2y≤0，
则 z＝x＋2y 的取值范围是
( )
A．[0,6] B．[0,4]
C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)
解析：选 D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部
分所示，由 z＝x＋2y，得 y＝－1
2x＋z
2
，
∴z
2
是直线 y＝－1
2x＋z
2
在 y 轴上的截距，
根据图形知，当直线 y＝－1
2x＋z
2
过 A 点时，z
2
取得最小值．
由 x－2y＝0，
x＋y－3＝0，
得 x＝2，y＝1，即 A(2,1)，此时，z＝4，
∴z＝x＋y 的取值范围是[4，＋∞)．
5．已知不等式组
x＋y≤1，
x－y≥－1，
y≥0
表示的平面区域为 M，若直线 y＝kx－3k 与平面区
域 M 有公共点，则 k 的取值范围是( )
A.
－1
3
，0 B.
－∞，1
3
C. 0，1
3 D.
－∞，－1
3
解析：选 A 画出可行域如图中阴影部分所示，
因为直线 y＝kx－3k 过定点(3,0)，结合图形可知
该直线的斜率的最大值为 k＝0，最小值为 k＝0－1
3－0
＝－1
3
，
所以 k 的取值范围是 －1
3
，0 .
6．设变量 x，y 满足约束条件
2x－y－2≤0，
x－2y＋2≥0，
x＋y－1≥0，
则 S＝y＋1
x＋1
的取值范围是( )
A. 1，3
2 B.
1
2
，1
C.
1
2
，2 D．[1,2]
解析：选 C 作出可行域为含边界的三角形区域(如图)，
顶点分别是 A(1,0)，B(0,1)，C(2，2)．S＝y＋1
x＋1
表示可行域内的
点与定点 P(－1，－1)连线的斜率，
则 Smin＝kPA＝1
2
，Smax＝kPB＝2.
7．(2018·大连期末)已知点 P 的坐标(x，y)满足
x＋y≤4，
y≥x，
x≥1，
过点 P 的直线 l 与圆 C：
x2＋y2＝14 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值是( )
A．2 6 B．4
C. 6 D．2
解析：选 B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设
点 P 到圆心的距离为 d，求最短弦长，等价于求到圆心距离 d 最大的点，
即为图中的 P 点，其坐标为(1,3)，则 d＝ 1＋32＝ 10，此时|AB|min＝
2 14－10＝4.
8．已知点 M(a，b)与点 N(0，－1)在直线 3x－4y＋5＝0 的两侧，给出以下结论：
①3a－4b＋5>0；
②当 a＞0 时，a＋b 有最小值，无最大值；
③a2＋b2＞1；
④当 a＞0 且 a≠1 时，b＋1
a－1
的取值范围是 －∞，－9
4 ∪
3
4
，＋∞
.
正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 B 因为点 M(a，b)与点 N(0，－1)在直线 3x－4y＋5
＝0 的两侧，所以 9(3a－4b＋5)＜0，即 3a－4b＋5＜0，故①错误；
作出可行域(如图中阴影部分，不包含边界)，当 a>0 时，由图知，
a＋b 无最小值，也无最大值，故②错误；3a－4b＋5<0 表示的区域
是直线 3x－4y＋5＝0 的左上方，a2＋b2 表示阴影部分的点 M(a，b)
和原点间的距离的平方，则 d＞ 5
32＋－42
＝1，故③正确；b＋1
a－1
表示阴影部分的点 M(a，b)
和 B(1，－1)连线的斜率，由图象得b＋1
a－1
＞k1＝3
4
或b＋1
a－1
＜kAB＝
5
4
＋1
0－1
＝－9
4
，故④正确，故选
B.
二、填空题
9．(2017·北京高考)若 x，y 满足
x≤3，
x＋y≥2，
y≤x，
则 x＋2y 的最大值为________．
解析：不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以
点 A(1,1)，B(3,3)，C(3，－1)为顶点的三角形及其内部．
设 z＝x＋2y，当直线 z＝x＋2y 经过点 B 时，z 取得最大值，
所以 zmax＝3＋2×3＝9.
答案：9
10．(2018·沈阳质监)已知不等式组
x＋y－2≥0，
x－2≤0，
ax－y＋2≥0
表示的平面区域的面积等于 3，
则 a 的值为________．
解析：依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，
由图可知其表示的平面区域为△ABC，
所以 S＝1
2
×2|AC|＝3，所以|AC|＝3，即 C(2,3)，
又点 C 在直线 ax－y＋2＝0 上，得 a＝1
2.
答案：1
2
11．点 P(x，y)在不等式组
x≥0，
x＋y≤3，
y≥x＋1
表示的平面区域内，若点 P(x，y)到直线 y＝
kx－1(k>0)的最大距离为 2 2，则实数 k＝________.
解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为
顶点的三角形区域(如图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线 y＝kx
－1(k>0)的距离最大，所以|0×k－3－1|
k2＋1
＝2 2，又 k>0，得 k＝1.
答案：1
12．设 x，y 满足约束条件
3x－y－6≤0，
x－y＋2≥0，
x≥0，y≥0，
若目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最
大值为 10，则 a2＋b2 的最小值为________．
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
易知当直线 z＝ax＋by 过点 A(4,6)时，取得最大值 10，即 2a＋3b＝5，
而 a2＋b2 表示原点(0,0)与直线 2a＋3b＝5 上的点的距离的平方，显然 a2＋b2 的最小值为原
点到直线 2a＋3b＝5 的距离的平方，又原点到直线 2a＋3b＝5 的距离 d＝ 5
13
，所以 a2＋b2
的最小值为25
13.
答案：25
13
三、解答题
13．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广
告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下
表所示：
连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)
甲 70 5 60
乙 60 5 25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时
间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 x，y
表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解：(1)由已知，x，y 满足的数学关系式为
70x＋60y≤600，
5x＋5y≥30，
x≤2y，
x≥0，
y≥0，
即
7x＋6y≤60，
x＋y≥6，
x－2y≤0，
x≥0，
y≥0，
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．
(2)设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z＝60x＋25y.
考虑 z＝60x＋25y，将它变形为 y＝－12
5 x＋ z
25
，这是斜率为－12
5
，随 z 变化的一族平行
直线. z
25
为直线在 y 轴上的截距，当 z
25
取得最大值时，z 的值最大．
又因为 x，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线 z＝60x＋25y 经过可行域上的点 M
时，截距 z
25
最大，即 z 最大．
解方程组 7x＋6y＝60，
x－2y＝0，
得点 M 的坐标为(6,3)．
所以电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多．
14．投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏
损，一投资人打算投资甲、乙两项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 50%
和 40%，可能的最大亏损率分别为 30%和 20%.投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求
确保可能的资金亏损不超过 2.4 万元．设甲、乙两个项目投资额分别为 x，y 万元．
(1)写出 x，y 满足的约束条件；
(2)求可能盈利的最大值(单位：万元)．
解：(1)x，y 满足约束条件为
x＋y≤10，
0.3x＋0.2y≤2.4，
x≥0，
y≥0，
(2)设目标函数 z＝0.5x＋0.4y，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
平移直线 l0：0.5x＋0.4y＝0，当经过点 M 时，z＝0.5x＋0.4y 取得最大值．
解方程组 x＋y＝10，
0.3x＋0.2y＝2.4，
得 x＝4，y＝6.
此时 zmax＝0.5×4＋0.4×6＝4.4(万元)．
1．已知 x，y 满足约束条件
x－y－2≤0，
5x－3y－12≥0，
y≤3，
当目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)
在该约束条件下取得最小值 1 时，(a－1)2＋(b－1)2 的最小值为( )
A. 1
10 B. 10
10
C.3 10
10 D. 9
10
解析：选 D 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，
把 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)化为 y＝－a
bx＋z
b
，
由图可知，当直线 y＝－a
bx＋z
b
过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最
小，z 有最小值 1，
联立 x－y－2＝0，
5x－3y－12＝0，
解得 A(3,1)，
所以 3a＋b＝1，
因为 a＞0，b＞0，所以 0＜a＜1
3.
则(a－1)2＋(b－1)2＝(a－1)2＋9a2＝10a2－2a＋1＝10 a－ 1
10 2＋ 9
10.
则当 a＝ 1
10
时，(a－1)2＋(b－1)2 取得最小值，最小值为 9
10.
2．在平面直角坐标系中，点 P 是由不等式组
x≥0，
y≥0，
x＋y－4≥0
所确定的平面区域内的动
点，M，N 是圆 x2＋y2＝1 的一条直径的两端点，则 PM―→·PN―→的最小值为( )
A．4 B．2 2－1
C．4 2 D．7
解析：选 D 因为 M，N 是圆 x2＋y2＝1 的一条直径的两端点，
所以可设 M(a，b)，N(－a，－b)，则 a2＋b2＝1.
设 P(x，y)，则 PM―→
· PN―→＝(a－x，b－y)·(－a－x，－b－y)＝x2－a2
＋y2－b2＝x2＋y2－1，
设 z＝x2＋y2，则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示
．则原点到直线 x＋y－4＝0 的距离最小，此时 d＝|0＋0－4|
2
＝2 2，则 z＝d2＝8，
则 PM―→
·P PN―→＝x2＋y2－1＝8－1＝7.