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- 2021-02-26 发布
2018年石景山区高三统一测试
数学（理）试卷
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数为（ ）
是
开始
否
输出
结束
A． B．
C． D．
3.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）
A． B．
C． D．
4.在中，，，
，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5.若某多面体的三视图（单位：）如图所示，
则此多面体的体积是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.现有种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，
则不同的涂色方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7.设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
B
A
C
D
8.如图，已知线段上有一动点（异于）,线段,且满足（是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9.双曲线的焦距是________,渐近线方程是________.
10.若变量满足则的最大值是____________.
11.已知圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线截圆所得的弦长是_____________．
12. 已知函数，若关于的方程有两个不同零点，则的取值范围是_____________．
13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上
再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股
树”．若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长
为，则其最小正方形的边长为________．
14.设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题：
①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；
②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；
③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．
其中真命题的序号是_______________．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.
16．（本小题共13分）
抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内
20名同学今年春节期间抢到红包金额（元）如下（四舍五入取整数）：
102 52 41 121 72
162 50 22 158 46
43 136 95 192 59
99 22 68 98 79
对这20个数据进行分组，各组的频数如下：
组别
红包金额分组
频数
A
0≤x＜40
2
B
40≤x＜80
9
C
80≤x＜120
m
D
120≤x＜160
3
E
160≤x＜200
n
（Ⅰ）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；
（Ⅱ）记C组红包金额的平均数与方差分别为、，E组红包金额的平均数与方差分别为、，试分别比较与、与的大小；（只需写出结论）
（Ⅲ）从A，E两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为，求的分布列和数学期望．
17．（本小题共14分）
如图，四边形是正方形，平面，//，，，为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：//平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．
18．（本小题共13分）
在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与它到直线的距离相等．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设动直线与曲线相切于点，与直线相交于点．
证明：以为直径的圆恒过轴上某定点．
19．（本小题共14分）
已知，曲线在处的切线方程为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在上的最大值；
（Ⅲ）当时，判断与交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）
20．（本小题共13分）
对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.
（Ⅰ）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；
（Ⅱ）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（）；
（Ⅲ）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.
2018年石景山区高三统一测试
数学（理）试卷答案及评分参考
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
C
A
D
C
B
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
，
②③
（两空题目，第一空2分，第二空3分）
三、解答题共6小题，共80分．
15．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）
………………5分
所以周期为. ………………6分
（Ⅱ）因为，
所以. ………………7分
所以当时，即时.
当时,即时. …………13分
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）m=4，n=2，B； ………………… 3分
（Ⅱ）<，<； ………………… 6分
（Ⅲ）的可能取值为0，30，140，170，
0
30
140
170
的数学期望为．
………………… 13分
17．（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：依题意，平面．
如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系． ……2分
依题意，可得，，，，，，．
因为，，
所以． ……5分
所以. ……6分
（Ⅱ）证明：取的中点，连接．
因为，，，
所以，
所以． ……8分
又因为平面，平面，
所以平面． ……9分
（Ⅲ）解：因为，，
，
所以平面，故为平面的一个法向量．……10分
设平面的法向量为，
因为，，
所以 即
令，得，，故． ……12分
所以， ……13分
所以二面角的大小为． ……14分
18．（本小题共13分）
（Ⅰ）解：设动点E的坐标为，
由抛物线定义知，动点E的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以动点E的轨迹C的方程为． ……………5分
（Ⅱ）证明：由，消去得：．
因为直线l与抛物线相切，所以，即． ……8分
所以直线l的方程为．
令，得．
所以Q． ……………10分
设切点坐标，则，
解得：， ……………11分
设，
所以当，即
所以
所以以PQ为直径的圆恒过轴上定点． ……………13分
19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）,
由已知可得，
解之得． …………3分
（Ⅱ）令．
则, …………5分
故当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以， …………8分
故在单调递增，
所以． ………11分
（Ⅲ）当时，与有两个交点. ………14分
20．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）所有可能的数列为；；；
…………3分
（Ⅱ）由题意知数列中.
又，所以 …………4分
所以，即（） …………8分
（Ⅲ）当时，由得，又
所以，不满足题意；
当时，由题意知数列中，又
当时此时，而，所以等式成立；
当时此时，而，所以等式成立；
当，得，此时数列为.
当时，，而，所以不存在满足题意的数列.
综上数列依次为. …………13分
【注：若有其它解法，请酌情给分】