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- 2021-02-26 发布
数学（文）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.“”是“”是（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为，那么判断框中应填入（ ）
A． B． C． D．
5.根据如下样本数据得到的回归方程为，若，则每增加个单位，就（ ）
A．增加个单位 B．减少个单位
C．增加个单位 D．减少个单位
6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
7.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第四象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
8.若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大正整数是（ ）
A． B． C． D．
9.已知函数，，且，．若的最小值为，则函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10.若点是的外心，且，，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
11.过双曲线（，）的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知复数满足，则__________．
14.已知实数，满足，则的最小值是__________．
15.已知，，若直线与圆相切，则的取值范围是__________．
16.对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求的最小值；
（2）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，求的周长．
18.（本小题满分12分）
某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损
元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．
（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的众数和平均数；
（2）将表示为的函数；
（3）根据直方图估计利润不少于元的概率．
19.（本小题满分12分）
如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，，，，平面，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求该组合体的体积．
20.（本小题满分12分）
已知经过抛物线：焦点的直线：与抛物线交于、
两点，若存在一定点，使得无论怎样运动，总有直线的斜率与的斜率互为相反数．
（1）求与的值；
（2）对于椭圆：，经过它左焦点的直线与椭圆交于、两点，是否存在定点，使得无论怎样运动，都有？若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知，，直线：．
（1）曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；
（2）若至少存在一个使成立，求实数的取值范围；
（3）设，当时的图象恒在直线的上方，求的最大值．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线：（为参数），曲线：（为参数）．
（1）设与相交于，两点，求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求实数的取值范围．
“湖南省湘中名校教研教改联合体”2017届高三12月联考·数学（文）
参考答案、提示及评分细则
一、选择题
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）
，，．，，
由余弦定理得，
即，，所以的周长为．………………（12分）
18.解：（1）由频率直方图得：最大需求量为的频率．
这个开学季内市场需求量的众数估计值是；
需求量为的频率，
需求量为的频率，
需求量为的频率，
需求量为的频率，
需求量为的频率．
则平均数．……………………（5分）
（2）因为每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元，
所以当时，，………………………………（7分）
当时，，…………………………………………………………（9分）
所以．
（3）因为利润不少于元所以，解得，解得．
所以由（1）知利润不少于元的概率．………………………………………（12分）
19.（1）证明：因为平面，，所以平面．
又因为平面，所以，又因为，且，
所以平面，又因为平面，所以平面平面．………………（6分）
（2）面将几何体分成四棱锥和三棱锥两部分，
过作，因为平面，平面，
所以，又因为，，
所以平面，即为四棱锥的高，
并且，，所以，
因为平面，且已知，
为顶角等于的等腰三角形，，，
所以，
所以组合体的体积为．………………………………………………（12分）
20.解：（1）直线：经过抛物线：的焦点为，，
直线代入得，设，
则，，得无论怎样运动，直线的斜率与的斜率互为相反数．
无论、怎样变化，总有，即．
，．………………………………………………………………………………（5分）
（2）直线垂直于轴时，、两点关于轴对称，
，要使，则必在轴上，设点
直线不垂直于轴时，设：，设，．
：代入得．
，
，直线的斜率与的斜率互为相反数．
即
，
以上每步可逆，存在定点，使得．………………………（12分）
21.解：（1）由已知得，，且在处的切线与直线平行，
所以，解得，解得．……………………………………………（2分）
（2）由于至少存在一个使成立，所以成立至少存在一个，
即成立至少存在一个．
令，当时，恒成立，
因此在单调递增．
故当时，，即实数的取值范围为．…………………………………（6分）
（3）由已知得，在时恒成立，即．
令，则，令，
则在时恒成立．
所以在上单调递增，且，，
所以在上存在唯一实数（）使.
当时，即，当时，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
故．
故（），所以的最大值为．……………………………………………………（12分）
22.解：（1）的普通方程为，的普通方程为，
联立方程组解得与的交点为，，则．……（5分）
（2）的参数方程为（为参数），故点的坐标是，
从而点到直线的距离是，
由此当时，取得最小值，且最小值为．……………………（10分）
23.解：（1）当时，．
由得．
当时，不等式等价于，解得，所以；
当时，等价于，即，所以；
当时，不等式等价于，解得，所以．
故原不等式的解集为．…………………………………………………………（5分）
（2），
原命题等价于，，
．…………………………（12分）