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- 2021-02-26 发布
湖南省2017届高三六校联考试题
数学(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 复数的共轭复数的虚部是（ ）
A． 2 B．-2 C． D．
3.若点到直线的距离比到点的距离大1，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知数列满足：对于，都有，且，那么（ ）
A． B． C. D．
5. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的（ ）
A． 8 B． 17 C. 29 D．83
6.若，则（ ）
A． B． C. D．
7. 为响应“精确扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3000元/箱的两种药品捐献给贫困地区某医院，其中药品至少100箱，药品箱数不少于药品箱数.则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为（ ）
A．200 B． 350 C. 400 D．500
8.圆的半径为3，一条弦为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C. D．
9.设函数，则关于函数有以下四个命题：（ ）
①；②；③函数是偶函数；④函数是周期函数.
其中真命题的个数是（ ）
A． 4 B．3 C. 2 D．1
10. 若函数的图象的一条对称轴方程是，函数的图象的一个对称中心是，则的最小正周期是（ ）
A． B． C. D．
11.点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.一个总体分为两层，其个体数之比为5：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数为 ．
14.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器----商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为 ．
15.设是双曲线的右焦点，若点关于双曲线的一条渐近线的对称点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为 ．
16.已知数列是各项均为正整数的等差数列，公差，且中任意两项之和也是该数列中的一项.若，其中为给定的正整数，则的所有可能取值的和为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 某学校的平面示意图为如下图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区，为学校的主要道路（不考虑宽度）. ，
.
（1）求道路的长度；
（2）求生活区面积的最大值.
18.如图，三棱柱中，底面分别是棱的中点，是棱上的动点.
（1）当为何值时，平面平面？
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19.随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”（无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志）已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物的概率为，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物，若化验结果呈阳性则含，呈阴性则不含.若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验.
（1）若，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；
（2）现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：
方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；
请问哪种方案更适合（即化验次数的期望值更小），并说明理由.
20. 已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆.过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.
（1）求椭圆的方程；
（2）当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
21.已知函数.
（1）若函数恒有两个零点，求的取值范围；
（2）若对任意，恒有不等式成立.
①求实数的值；②证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.若曲线的左焦点在直线上，且直线与曲线交于两点.
（1）求的值并写出曲线的直角坐标方程；
（2）求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）求证：中至少有一个不小于.
试卷答案
一、选择题
1-5: BBDAC 6-10: DCDAC 11、12：CB
二、填空题
13. 48 14. 3 15. 16.
三、解答题
17.解析: （1）
如图，连接，在中，由余弦定理得：
，∴.
∵，∴，
又，∴.
在中，所以.
（2）设，∵，∴.
在中，由正弦定理，得，
∴.
∴
.
∵，∴.
∴当，即时，取得最大值为，
即生活区面积的最大值为.
注：第（2）问也可用余弦定理和均值不等式求解.
18.【解析】（1）
当为中点（即）时，平面平面.
证明如下:由于且,∴,故四点共面.
连接交于.在正方形中，，故，即.又平面，平面，所以，又因为，故平面，从而平面平面.
（2）
三棱柱中, 底面，于是可以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为分别是棱的中点，所以，.
由（1）知平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
令得，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则.
19.【解析】（1）设为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，
所求的概率为，
所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为.
（2）设，则.
方案一：设所需化验的次数为，则的所有可能取值为2，4，6次，
，
.
方案二：设所需化验的次数为，则的所有可能取值为1，5次，
，.
因为，即，
所以方案二更适合.
20.【解析】（1）由题设知，，，又，
解得.
故所求椭圆的方程是.
（2）①，则有，化简得，
对于直线，同理有，
于是是方程的两实根，故.
考虑到时，是椭圆的下顶点，趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.
由，得，于是有.
直线的斜率为，
直线的方程为，
令，得，
故直线过定点.
21.【解析】（1），则
.
当时，，故单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意；
当时，有唯一解，此时，则.
注意到，因此.
（2）①当时，单调递增，的值域为，不符合题意；
当时，则，也不符合题意.
当时，由（1）可知，，故只需.
令，上式即转化为，
设，则，因此在上单调递增，在上单调递减，从而，所以.
因此，，从而有.
故满足条件的实数为.
②由①可知，因而只需证明：，恒有.
注意到前面已经证明：，因此只需证明：.
当时，恒有，且等号不能同时成立；
当时，设，则，当时，是单调递增函数，且，因而时恒有；从而时，单调递减，从而，即.
故.
22.【解析】（1）已知曲线的标准方程为，则其左焦点为，
故，曲线的方程.
（2）直线的参数方程为，与曲线的方程联立，
得，则，
，故.
23.【解析】（1）当时，，
无解；，解得；，解得.
综上，不等式的解集为.
（2）：法一：由，
故中至少有一个不小于.
法二：（反证法）若都小于，
则，前两式相加得与第三式矛盾.