2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4 6页

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 ‎4.1　指数与指数函数 ‎4.1.1　实数指数幂及其运算 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．‎ ‎2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．‎ ‎3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．‎ ‎4．掌握实数指数幂的运算法则．‎ ‎1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．‎ ‎2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．‎ ‎3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．‎ ‎4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 n次方根 ‎ (1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__xn＝a__，则x称为a的n次方根．‎ ‎(2)表示：‎ n为奇数 n为偶数 a∈R a＞0‎ a＝0‎ a＜0‎ x＝____‎ x＝__±__‎ ‎0‎ 不存在 思考：对于式子中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？‎ 提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．‎ 知识点 根式 ‎(1)当有意义时，称为根式，n称为__根指数__，a称为被开方数．‎ ‎(2)性质：‎ ‎①()n＝__a__；②＝ - 6 -‎ 思考：()n与中的字母a的取值范围是否一样？‎ 提示：取值范围不同．式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R．‎ 分数指数幂的意义 知识点 　 ‎ 正分数 指数幂 n为正整数，有意义，且a≠0时，规定a＝____‎ 正分数，a＝__()m__＝ 负分数 指数幂 s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a－s＝____‎ 思考：分数指数幂中的有什么规定？‎ 提示：为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数．‎ 知识点 无理数指数幂 当a＞0且t是无理数时，at是一个确定的__实数__．‎ 思考：当a＞0时，式子ax中的x的范围是什么？‎ 提示：x∈R．‎ 知识点 实数指数幂的运算法则(a＞0，b＞0，r，s∈R)‎ ‎(1)aras＝__ar＋s__．‎ ‎(2)(ar)s＝__ars__．‎ ‎(3)(ab)r＝__arbr__．‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 n次方根的概念及相关问题 ‎┃┃典例剖析__■‎ - 6 -‎ ‎　典例1　(1)求使等式 ＝(3－a)成立的实数a的取值范围；‎ ‎(2)设－3＜x＜3，求－的值．‎ ‎[分析]　(1)利用＝|a|进行讨论化简．‎ ‎(2)利用限制条件去绝对值号．‎ ‎[解析]　(1)＝ ‎＝|a－3|，‎ 要使|a－3|＝(3－a)成立，‎ 需解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围为[－3,3]．‎ ‎(2)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，‎ ‎∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x＜3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4．‎ ‎∴原式＝ 规律方法：1.对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0时才有意义；(2)只要有意义，必不为负．‎ ‎2．当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．(1)若＋(a－3)0有意义，则a的 取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__；‎ ‎(2)已知x∈[1,2]，化简()4＋＝__1__．‎ ‎[解析]　(1)由得a≥2，且a≠3．‎ ‎(2)∵x∈[1,2]，∴x－1≥0，x－2≤0，∴()4＋＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1．‎ 题型 根式与分数指数幂的互化 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　(1)用根式表示下列各式：a；a；a－；‎ ‎(2)用分数指数幂表示下列各式：；；．‎ ‎[分析]　利用分数指数幂的定义求解．‎ ‎[解析]　(1)a＝；a＝；a－＝＝．‎ ‎(2)＝a；＝a＝a2；＝＝a－．‎ - 6 -‎ 规律方法：根式与分数指数幂互化的规律 ‎(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．‎ ‎(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．(1)用根式表示下列各式：x；x－；‎ ‎(2)用分数指数幂表示下列各式：‎ ‎①(a＞0，b＞0)；‎ ‎②(a＞0，b＞0)．‎ ‎[解析]　(1)x＝；x－＝．‎ ‎(2)①＝＝a－．‎ ‎②＝＝＝＝a－b．‎ 题型 有理(实数)指数幂的运算法则的应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　化简：(1)(5x－y)··(其中x＞0，y＞0)；‎ ‎(2)0.064－－0＋[(－2)3] －＋16－0.75；‎ ‎(3)32＋×27－；‎ ‎(4)(1＋)[(－－1)－2()]＋()1－×()1＋．‎ ‎[分析]　利用幂的运算法则计算．‎ ‎[解析]　(1)原式＝·x－＋(－1)＋·y＋－＝x－y - 6 -‎ ‎．‎ ‎(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3‎ ‎＝－1＋＋＝．‎ ‎(3)32＋×27－＝32＋×(33)－＝32＋×3－＝32＋－＝32＝9．‎ ‎(4)(1＋)[(－－1)－2()]＋()1－×()1＋ ‎＝(1＋)[(＋1)－2·()]＋()1－＋1＋ ‎＝(1＋)[(＋1)－2×()×]＋()2‎ ‎＝(1＋)·[(＋1)－1·()]＋2‎ ‎＝()＋2＝2＋2．‎ 规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．化简与求值 ‎(1) －＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0；‎ ‎(2)·．‎ ‎[解析]　(1)原式＝(－1) －－＋－－＋1＝－＋(500) －10(＋2)＋1‎ ‎＝＋10－10－20＋1＝－．‎ - 6 -‎ ‎(2)原式＝(a·a－)·[(a－5)－·(a－)13] ‎＝(a0) ·(a·a－) ‎＝(a－4) ＝a－2．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　化简(1－a)[(a－1)－2·(－a) ] ．‎ ‎[错解]　原式＝(1－a)(a－1)－1·(－a) ＝－(－a) ．‎ ‎[辨析]　误解中忽略了题中有(－a) ，即－a≥0，a≤0，则[(a－1)－2] ≠(a－1)－1．‎ ‎[正解]　∵(－a) 存在，∴－a≥0，故a－1＜0，原式＝(1－a)·(1－a)－1(－a) ＝(－a) ．‎ - 6 -‎