2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6 4页

‎6.2.2　直线上向量的坐标及其运算 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.理解直线上向量的坐标的定义．‎ ‎2．掌握直线上向量的运算与坐标的关系．‎ ‎1.通过对直线上向量的坐标定义的理解，提升学生的数学抽象、直观想象素养．‎ ‎2．通过直线上向量坐标的运算，提升学生的数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 直线上向量的坐标 给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，对于这条直线上的任意一个向量a，一定存在__唯一__的实数x，使得a＝xe，此时x称为向量a的__坐标__．‎ 在直线上指定原点O，以e的方向为正方向，如果把向量a的始点平移到原点O，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标．‎ 思考：向量a的坐标x能刻画它的模与方向吗？‎ 提示：能．‎ ‎(1)|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|．‎ ‎(2)当x＞0时，a的方向与e的方向相同；当x＝0时，a是零向量；当x＜0时，a的方向与e的方向相反．‎ 知识点 直线上向量的运算与坐标的关系 如果直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2．‎ ‎(1)a＝b的充要条件是__x1＝x2__．‎ ‎(2)a＋b的坐标为__x1＋x2__，a－b的坐标为__x1－x2__，λa的坐标为__λx1__．‎ ‎(3)设A(x1)，B(x2)是数轴上的两点，M(x)是线段AB的中点，则AB＝__|x2－x1|__，x＝____．‎ 关键能力·攻重难 - 4 -‎ 题型探究 题型 求直线上的向量坐标 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　已知e是直线l上的一个单位向量，向量a与b都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出a与b的坐标：‎ ‎(1)a＝2e，b＝－3e；‎ ‎(2)a＝－e，b＝4e．‎ ‎[解析]　(1)∵e的坐标为1，又a＝2e，b＝－3e，‎ ‎∴a的坐标为2，b的坐标为－3．‎ ‎(2)∵e的坐标为1，又a＝－e，b＝4e，‎ ‎∴a的坐标为－，b的坐标为4．‎ 规律方法：为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：‎ ‎(1)将向量用单位向量表示出来．‎ ‎(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．如图所示，求出向量a，b的坐标．‎ ‎[解析]　因为向量a的起点在原点，因此由a的终点坐标可知a的坐标为－1；把向量b的起点平移到原点，则其终点坐标为2，故b的坐标为2．‎ 题型 直线上向量坐标的线性运算 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　已知直线上向量a的坐标为－3，b的坐标为4，求下列向量的坐标：‎ ‎(1)a－b；(2)b；(3)－2a＋3B．‎ ‎[解析]　(1)a－b的坐标为－3－4＝－7．‎ ‎(2)b的坐标为×4＝．‎ ‎(3)－2a＋3b的坐标为(－2)×(－3)＋3×4＝18．‎ 规律方法：若a，b的坐标分别为x1，x2，则a＋b的坐标为x1＋x2，a－b的坐标为x1－x2，λa的坐标为λx1，ua＋vb的坐标为ux1＋vx2，ua－vb的坐标为ux1－vx2．‎ - 4 -‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．已知A，B都是数轴上的点，A(－3)，且的坐标为－5，求点B的坐标．‎ ‎[解析]　设B(x)，则x－(－3)＝－5，∴x＝－8．‎ 题型 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例3　已知A，B，C为数轴上三点，且xA＝－2，xB＝6，试求符合下列条件的点C的坐标．‎ ‎(1)AC＝10；(2)||＝3||．‎ ‎[解析]　(1)∵AC＝10，∴|xC－xA|＝10，‎ ‎∴xC＝xA±10，‎ ‎∴xC＝－12或8．‎ ‎(2)∵||＝3||，∴|xC－xA|＝3|xC－xB|，‎ 即|xC＋2|＝3|xC－6|，‎ ‎∴xC＋2＝3(xC－6)或xC＋2＝－3(xC－6)，∴xC＝10或4．‎ 规律方法：注意题目中AC与的含义不一样，AC＝||＝|xC－xA|，解题时要注意区分，避免出错．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．设数轴上两点A，B的坐标分别为2，－6，求：‎ ‎(1)向量的坐标，以及A与B的距离；‎ ‎(2)线段AB中点的坐标．‎ ‎[解析]　(1)由题意得的坐标为2，的坐标为－6，又因为＝－，所以的坐标为－6－2＝－8，而且AB＝||＝|－8|＝8．‎ ‎(2)设线段AB中点的坐标为x，则x＝＝－2．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　若e是直线l上的一个单位向量，向量a＝e，b＝－e - 4 -‎ 是这条直线上的向量，则|a＋2b|＝____．‎ ‎[错解]　e ‎[辨析]　本题混淆了向量的模与向量的概念致误．‎ ‎[正解]　|a＋2b|＝|e＋2×(－e)|＝|e－e|＝．‎ - 4 -‎